Hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình bình hành tâm ${O}$. Hai mặt...

Trước hết ta chứng minh công thức sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm 0.
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
Gọi a, b, c, dần lượt là khoảng cách từ 0 đến các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) khi đó ta có:
$$ $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}}\left( 1 \right)SAB',\text{ }D'\left\{ \begin{align}

& \left( SAC \right)\bot \left( SBD \right) \\

& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right) \\

& A'C'\bot SO \\

& A'C'\subset \left( SAC \right) \\

\end{align} \right.=SO\Rightarrow A'C'\bot \left( SBD \right)\Rightarrow A'C'\bot B'D'OA'B'SOA',\text{ }OB',S0\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{A'{{O}^{2}}}+\frac{1}{B'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 1 \right)\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{C'{{O}^{2}}}+\frac{1}{B'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 2 \right)\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{C'{{O}^{2}}}+\frac{1}{D'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 3 \right)\frac{1}{{{D}^{2}}}=\frac{1}{A'{{O}^{2}}}+\frac{1}{D'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 4 \right)\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}}\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SAB \right) \right)}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SCD \right) \right)}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SBC \right) \right)}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}\Leftrightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}$ $$

Gọi
Ta có


Ta lại có



Cộng và theo vế ta được

Vậy