Google
Câu hỏi: Hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình bình hành tâm ${O}$. Hai mặt phẳng ${\left( SAC \right)}$ và ${\left( SBD \right)}$ vuông góc với nhau. Khoảng cách từ ${O}$ đến các mặt phẳng ${\left( SAB \right), \left( SBC \right), \left( SCD \right)}$ lần lượt bằng ${1}$, ${\dfrac{1}{2}}$, ${\dfrac{1}{3}}$ và diện tích xung quanh của hình chóp bằng ${6+\sqrt{6}}$. Tính thể tích khối chóp ${S.ABCD}$.
A. ${4}$.
B. ${1}$.
C. ${\dfrac{1}{3}}$.
D. ${\dfrac{4}{3}}$.
Trước hết ta chứng minh công thức sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm 0.
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
Gọi a, b, c, dần lượt là khoảng cách từ 0 đến các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) khi đó ta có:
$$ $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}}\left( 1 \right)$
Thật vậy:
Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường thẳng đi qua 0 vuông góc với S0 cắt hai đưỏng thẳng $SA$, SC lần lượt tại A', C'.
Trong mặt phẳng (SBD) dựng đường thẳng đi qua 0 vuông góc với S0 cắt hai đường thẳng SB, SD lần lượt tại $B',\text{ }D'$.
Ta có
$\left\{ \begin{align}
& \left( SAC \right)\bot \left( SBD \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right) \\
& A'C'\bot SO \\
& A'C'\subset \left( SAC \right) \\
\end{align} \right.=SO\Rightarrow A'C'\bot \left( SBD \right)\Rightarrow A'C'\bot B'D'$
Khi đó, khối tứ diện $OA'B'S$ có $OA',\text{ }OB',$ $S0$ đôi một vuông góc nên theo kết quả bài tập 4 trang 105 sách giáo khoa hình học 11 cơ bản ta có:
$\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{A'{{O}^{2}}}+\frac{1}{B'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 1 \right)$
Chúng mình tương tự ta cũng có:
$\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{C'{{O}^{2}}}+\frac{1}{B'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 2 \right)$
$\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{C'{{O}^{2}}}+\frac{1}{D'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 3 \right)$
$\frac{1}{{{D}^{2}}}=\frac{1}{A'{{O}^{2}}}+\frac{1}{D'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 4 \right)$
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}}$
Áp dụng (1) ta có: $\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SAB \right) \right)}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SCD \right) \right)}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SBC \right) \right)}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}$ $$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}=6\Leftrightarrow d\left( O;\left( SDA \right) \right)=\frac{1}{\sqrt{6}}$
Gọi $V={{V}_{S.ABCD}}$
Ta có
$\left\{ \begin{align}
& {{S}_{\Delta OAB}}={{S}_{\Delta OBC}}={{S}_{\Delta OCD}}={{S}_{\Delta ODA}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABCD}} \\
& d\left( S;\left( OAB \right) \right)=d\left( S;\left( OBC \right) \right)=d\left( S;\left( OCD \right) \right)=d\left( S;\left( ODA \right) \right)=d\left( S; \left( ABCD \right) \right) \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow {{V}_{S.OAB}}={{V}_{S.OBC}}={{V}_{S.OCD}}={{V}_{S.ODA}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}V$
Ta lại có $\frac{1}{4}V={{V}_{S.OAB}}={{V}_{O.SAB}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SAB \right) \right).{{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{3}.1.{{S}_{\Delta SAB}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{3}{4}V\left( 5 \right)$
$\frac{1}{4}V={{V}_{S.OBC}}={{V}_{O.SBC}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{S}_{\Delta SBC}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SBC}}=\frac{3}{2}V\left( 6 \right)$
$\frac{1}{4}V={{V}_{S.OCD}}={{V}_{O.SCD}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SCD \right) \right).{{S}_{\Delta SCD}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{S}_{\Delta SCD}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SCD}}=\frac{9}{4}V\left( 7 \right)$
$\frac{1}{4}V={{V}_{S.OAD}}={{V}_{O.SAD}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SAD \right) \right).{{S}_{\Delta SAD}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{\sqrt{6}}{{S}_{\Delta SAD}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SAD}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}V\left( 8 \right)$
Cộng $\left( 5 \right),\left( 6 \right),\left( 7 \right)$ và $\left( 8 \right)$ theo vế ta được
$\begin{align}
& {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta SBC}}+{{S}_{\Delta SCD}}+{{S}_{\Delta SAD}}=\frac{3}{4}V+\frac{3}{2}V+\frac{9}{4}V+\frac{3\sqrt{6}}{4}V \\
& \Leftrightarrow 6+\sqrt{6}=\frac{3}{4}\left( 6+\sqrt{6} \right)V\Leftrightarrow V=\frac{4}{3} \\
\end{align}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{4}{3}$
A. ${4}$.
B. ${1}$.
C. ${\dfrac{1}{3}}$.
D. ${\dfrac{4}{3}}$.
Trước hết ta chứng minh công thức sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm 0.
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
Gọi a, b, c, dần lượt là khoảng cách từ 0 đến các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) khi đó ta có:
$$ $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}}\left( 1 \right)$
Thật vậy:
Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường thẳng đi qua 0 vuông góc với S0 cắt hai đưỏng thẳng $SA$, SC lần lượt tại A', C'.
Trong mặt phẳng (SBD) dựng đường thẳng đi qua 0 vuông góc với S0 cắt hai đường thẳng SB, SD lần lượt tại $B',\text{ }D'$.
Ta có
$\left\{ \begin{align}
& \left( SAC \right)\bot \left( SBD \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right) \\
& A'C'\bot SO \\
& A'C'\subset \left( SAC \right) \\
\end{align} \right.=SO\Rightarrow A'C'\bot \left( SBD \right)\Rightarrow A'C'\bot B'D'$
Khi đó, khối tứ diện $OA'B'S$ có $OA',\text{ }OB',$ $S0$ đôi một vuông góc nên theo kết quả bài tập 4 trang 105 sách giáo khoa hình học 11 cơ bản ta có:
$\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{A'{{O}^{2}}}+\frac{1}{B'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 1 \right)$
Chúng mình tương tự ta cũng có:
$\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{C'{{O}^{2}}}+\frac{1}{B'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 2 \right)$
$\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{C'{{O}^{2}}}+\frac{1}{D'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 3 \right)$
$\frac{1}{{{D}^{2}}}=\frac{1}{A'{{O}^{2}}}+\frac{1}{D'{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\left( 4 \right)$
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}}$
Áp dụng (1) ta có: $\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SAB \right) \right)}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SCD \right) \right)}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SBC \right) \right)}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}$ $$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( SDA \right) \right)}=6\Leftrightarrow d\left( O;\left( SDA \right) \right)=\frac{1}{\sqrt{6}}$
Gọi $V={{V}_{S.ABCD}}$
Ta có
$\left\{ \begin{align}
& {{S}_{\Delta OAB}}={{S}_{\Delta OBC}}={{S}_{\Delta OCD}}={{S}_{\Delta ODA}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABCD}} \\
& d\left( S;\left( OAB \right) \right)=d\left( S;\left( OBC \right) \right)=d\left( S;\left( OCD \right) \right)=d\left( S;\left( ODA \right) \right)=d\left( S; \left( ABCD \right) \right) \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow {{V}_{S.OAB}}={{V}_{S.OBC}}={{V}_{S.OCD}}={{V}_{S.ODA}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}V$
Ta lại có $\frac{1}{4}V={{V}_{S.OAB}}={{V}_{O.SAB}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SAB \right) \right).{{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{3}.1.{{S}_{\Delta SAB}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{3}{4}V\left( 5 \right)$
$\frac{1}{4}V={{V}_{S.OBC}}={{V}_{O.SBC}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{S}_{\Delta SBC}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SBC}}=\frac{3}{2}V\left( 6 \right)$
$\frac{1}{4}V={{V}_{S.OCD}}={{V}_{O.SCD}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SCD \right) \right).{{S}_{\Delta SCD}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{S}_{\Delta SCD}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SCD}}=\frac{9}{4}V\left( 7 \right)$
$\frac{1}{4}V={{V}_{S.OAD}}={{V}_{O.SAD}}=\frac{1}{3}d\left( O;\left( SAD \right) \right).{{S}_{\Delta SAD}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{\sqrt{6}}{{S}_{\Delta SAD}}\Rightarrow {{S}_{\Delta SAD}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}V\left( 8 \right)$
Cộng $\left( 5 \right),\left( 6 \right),\left( 7 \right)$ và $\left( 8 \right)$ theo vế ta được
$\begin{align}
& {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta SBC}}+{{S}_{\Delta SCD}}+{{S}_{\Delta SAD}}=\frac{3}{4}V+\frac{3}{2}V+\frac{9}{4}V+\frac{3\sqrt{6}}{4}V \\
& \Leftrightarrow 6+\sqrt{6}=\frac{3}{4}\left( 6+\sqrt{6} \right)V\Leftrightarrow V=\frac{4}{3} \\
\end{align}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{4}{3}$
Đáp án D.