Google
Câu hỏi: Hiện nay urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ 235U và 238U với tỉ lệ số hạt 235U và số hạt 238U là $\dfrac{7}{1000}$. Biết chu kì bán rã của 235U và 238U lần lượt là 7,00.108 năm và 4,50.109 năm. Cách đây bao nhiêu năm, urani tự nhiên có tỉ lệ số hạt 235U và số hạt 238U là $\dfrac{3}{100}$ ?
A. 2,74 tỉ năm
B. 1,74 tỉ năm
C. 2,22 tỉ năm
D. 3,15 tỉ năm
A. 2,74 tỉ năm
B. 1,74 tỉ năm
C. 2,22 tỉ năm
D. 3,15 tỉ năm
Phương pháp:
Số hạt phóng xạ còn lại: N = N0. ${{2}^{\dfrac{-t}{T}}}$
Cách giải:
Gọi N01 ; N02 lần lượt là số hạt nhân ban đầu của 235U và 238U
Hiện nay: $\dfrac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\dfrac{{{N}_{01}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}}{{{N}_{02}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}}}=\dfrac{7}{1000}\left( 1 \right)$
Tại thời điểm t1: $\dfrac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\dfrac{{{N}_{01}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}}{{{N}_{02}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}}=\dfrac{3}{100}\left( 2 \right)$
Chia (1) cho (2) ta được:
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}}=\dfrac{7}{30}\Leftrightarrow {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}=\dfrac{7}{30} \\
& \Leftrightarrow \left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}} \right).\left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}} \right)=\dfrac{7}{30} \\
& \Leftrightarrow {{2}^{\dfrac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}=\dfrac{7}{30}\Leftrightarrow {{2}^{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right).\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)}}=\dfrac{7}{30} \\
& \Leftrightarrow \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)=\ln \dfrac{7}{30}\Rightarrow \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)=\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{7}{30}}{\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)=\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{7}{30}}{\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)}$ = 1,74 ti nam
Số hạt phóng xạ còn lại: N = N0. ${{2}^{\dfrac{-t}{T}}}$
Cách giải:
Gọi N01 ; N02 lần lượt là số hạt nhân ban đầu của 235U và 238U
Hiện nay: $\dfrac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\dfrac{{{N}_{01}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}}{{{N}_{02}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}}}=\dfrac{7}{1000}\left( 1 \right)$
Tại thời điểm t1: $\dfrac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\dfrac{{{N}_{01}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}}{{{N}_{02}}{{.2}^{\dfrac{-{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}}=\dfrac{3}{100}\left( 2 \right)$
Chia (1) cho (2) ta được:
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}}{{{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}}=\dfrac{7}{30}\Leftrightarrow {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}=\dfrac{7}{30} \\
& \Leftrightarrow \left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}} \right).\left( {{2}^{-\dfrac{{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{2}}}{{{T}_{2}}}}} \right)=\dfrac{7}{30} \\
& \Leftrightarrow {{2}^{\dfrac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{{{T}_{1}}}}}{{.2}^{\dfrac{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{{{T}_{2}}}}}=\dfrac{7}{30}\Leftrightarrow {{2}^{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right).\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)}}=\dfrac{7}{30} \\
& \Leftrightarrow \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)=\ln \dfrac{7}{30}\Rightarrow \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)=\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{7}{30}}{\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)=\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{7}{30}}{\left( \dfrac{1}{{{T}_{2}}}-\dfrac{1}{{{T}_{1}}} \right)}$ = 1,74 ti nam
Đáp án B.