Hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{\left( m-1...

Phương pháp:
Điều kiện cần: Hàm số y= f( x) đạt cực trị tại $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=0.~$
Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị mvừa tìm được.
Cách giải:
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+3{{\left( m-1 \right)}^{2}}.~$

Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 1 khi và chỉ khi $y'\left( 1 \right)=0$.

$\begin{aligned}

& \Leftrightarrow 3-6\left( m+1 \right)+3{{\left( m-1 \right)}^{2}}=0 \\

& \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-12m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& m=0 \\

& m=4 \\

\end{aligned} \right. \\

\end{aligned}$

Thử lại:

Với m = 0 ta có $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x$, khi đó $y'=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$, do đó hàm số không có cực trị.

Với m = 4 ta có $y={{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+27x$, khi đó $y'=3{{x}^{2}}-30x+27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& x=1 \\

& x=9 \\

\end{aligned} \right.$, do đó hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.