Google
Câu hỏi: Hàm số $y=\sqrt{x+\dfrac{9}{x}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào dưới đây?
A. $x=-1$.
B. $x=1$.
C. $x=2$.
D. $x=3$.
A. $x=-1$.
B. $x=1$.
C. $x=2$.
D. $x=3$.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& x+\dfrac{9}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>0$.
Nhận thấy $y=\sqrt{x+\dfrac{9}{x}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f\left( x \right)=x+\dfrac{9}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất với $x>0$.
Cách 1: Ta có ${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Rightarrow x=0$ (vì $x>0$ ).
Bảng biến thiên:
Do vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$ với $y=\sqrt{6}$.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x$ và $\dfrac{9}{x}$ ta được: $x+\dfrac{9}{x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{9}{x}}=6$ .
Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=\dfrac{9}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Rightarrow x=3$ (vì $x>0$ ).
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=3$ với $y=\sqrt{6}$.
& x\ne 0 \\
& x+\dfrac{9}{x}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>0$.
Nhận thấy $y=\sqrt{x+\dfrac{9}{x}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f\left( x \right)=x+\dfrac{9}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất với $x>0$.
Cách 1: Ta có ${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Rightarrow x=0$ (vì $x>0$ ).
Bảng biến thiên:
Do vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$ với $y=\sqrt{6}$.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x$ và $\dfrac{9}{x}$ ta được: $x+\dfrac{9}{x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{9}{x}}=6$ .
Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=\dfrac{9}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Rightarrow x=3$ (vì $x>0$ ).
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=3$ với $y=\sqrt{6}$.
Đáp án D.