Google
Câu hỏi: Hàm số $y=\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)+\sqrt{1+{{x}^{2}}}.$ Mệnh đề nào sai:
A. Hàm số tăng trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$.
B. Hàm số có đạo hàm $y'=\dfrac{1+x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.$
C. Tập xác định của hàm số là $D=R.$
D. Hàm số giảm trên khoảng $\left( -1;+\infty \right).$
A. Hàm số tăng trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$.
B. Hàm số có đạo hàm $y'=\dfrac{1+x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.$
C. Tập xác định của hàm số là $D=R.$
D. Hàm số giảm trên khoảng $\left( -1;+\infty \right).$
ĐK: $x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}>0.$
Ta thấy $1+{{x}^{2}}>{{x}^{2}}\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}>\left| x \right|\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có:
$y'=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\dfrac{1+x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.$
Cho $y'=0\Rightarrow 1+x=0\Leftrightarrow x=-1.$
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số tăng trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$ và giảm trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right).$
Ta thấy $1+{{x}^{2}}>{{x}^{2}}\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}>\left| x \right|\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}+x>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có:
$y'=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}=\dfrac{1+x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.$
Cho $y'=0\Rightarrow 1+x=0\Leftrightarrow x=-1.$
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số tăng trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$ và giảm trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right).$
Đáp án D.