Google
Câu hỏi: Hàm số $y={{\left( x+m \right)}^{3}}+{{\left( x+n \right)}^{3}}-{{x}^{3}}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ; +\infty \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-m-n$ bằng
A. $-16$.
B. $4$.
C. $\dfrac{-1}{16}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
A. $-16$.
B. $4$.
C. $\dfrac{-1}{16}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Ta có ${y}'=3{{\left( x+m \right)}^{2}}+3{{\left( x+n \right)}^{2}}-3{{x}^{2}}=3\left[ {{x}^{2}}+2\left( m+n \right)x+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right]$.
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow mn\le 0$.
TH1: $mn=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& n=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do vai trò của $m,n$ là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp $m=0$.
$\Rightarrow P=4{{n}^{2}}-n=\left( 2n-\dfrac{1}{4} \right)-\dfrac{1}{16}\ge -\dfrac{1}{16}\left( 1 \right)$.
TH2: $m n<0\Leftrightarrow m>0; n<0$.
Ta có $P={{\left( 2m-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{16}+4{{n}^{2}}+\left( -n \right)>-\dfrac{1}{16}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta có ${{P}_{\min }}=-\dfrac{1}{16}$. Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $m=\dfrac{1}{8};n=0$ hoặc $m=0;n=\dfrac{1}{8}$.
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow mn\le 0$.
TH1: $mn=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& n=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do vai trò của $m,n$ là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp $m=0$.
$\Rightarrow P=4{{n}^{2}}-n=\left( 2n-\dfrac{1}{4} \right)-\dfrac{1}{16}\ge -\dfrac{1}{16}\left( 1 \right)$.
TH2: $m n<0\Leftrightarrow m>0; n<0$.
Ta có $P={{\left( 2m-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{16}+4{{n}^{2}}+\left( -n \right)>-\dfrac{1}{16}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta có ${{P}_{\min }}=-\dfrac{1}{16}$. Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $m=\dfrac{1}{8};n=0$ hoặc $m=0;n=\dfrac{1}{8}$.
Đáp án C.