Hàm số $y=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Hàm số

y = \frac{2}{3} x^{3} - m x^{2} - 2 (3 m^{2} - 1) x + \frac{2}{3}

có 2 điểm cực trị

x_{1}, x_{2}

sao cho

x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1

khi

m = \frac{a}{b}

(với

\frac{a}{b}

là phân số tối giản và

a, b \in N^{*}

). Tính

S = a^{2} + b^{2}

.
A.

S = 10

.
B.

S = 13

.
C.

S = 25

.
D.

S = 34

.

Ta có

y = \frac{2}{3} x^{3} - m x^{2} - 2 (3 m^{2} - 1) x + \frac{2}{3} \Rightarrow y^{'} = 2 x^{2} - 2 m x - 2 (3 m^{2} - 1)

.
Để

y

có hai cực trị

x_{1}, x_{2}

thì phương trình

y^{'} = 0

có hai nghiệm phân biệt, tức là

Δ^{'} = m^{2} + 4 (3 m^{2} - 1) = 13 m^{2} - 4 > 0

hay

m \in (- \infty; - \frac{2}{\sqrt{13}}) \cup (\frac{2}{\sqrt{13}}; + \infty)

.
Ta lại có

x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1 \Leftrightarrow - 3 m^{2} + 1 + 2 m = 1 \Leftrightarrow - 3 m^{2} + 2 m = 0

\Leftrightarrow [\begin{aligned} m = 0 (l o a \ddot{i} i) \\ m = \frac{2}{3} (t h o a \hat{u}) \end{aligned}

\Rightarrow {\begin{aligned} a = 2 \\ b = 3 \end{aligned} \Rightarrow S = 13.

.

Đáp án B.