Google
Câu hỏi: Hàm số $y=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+\dfrac{2}{3}$ có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1$ khi $m=\dfrac{a}{b}$ (với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ). Tính $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $S=10$.
B. $S=13$.
C. $S=25$.
D. $S=34$.
A. $S=10$.
B. $S=13$.
C. $S=25$.
D. $S=34$.
Ta có $y=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+\dfrac{2}{3}\Rightarrow {y}'=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)$.
Để $y$ có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là ${\Delta }'={{m}^{2}}+4\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=13{{m}^{2}}-4>0$ hay $m\in \left( -\infty ;-\dfrac{2}{\sqrt{13}} \right)\cup \left( \dfrac{2}{\sqrt{13}};+\infty \right)$.
Ta lại có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+2m=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0\text{ (}loa\ddot{i}i) \\
& m=\dfrac{2}{3}(thoa\hat{u}) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=13.$.
Để $y$ có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là ${\Delta }'={{m}^{2}}+4\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=13{{m}^{2}}-4>0$ hay $m\in \left( -\infty ;-\dfrac{2}{\sqrt{13}} \right)\cup \left( \dfrac{2}{\sqrt{13}};+\infty \right)$.
Ta lại có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+2m=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0\text{ (}loa\ddot{i}i) \\
& m=\dfrac{2}{3}(thoa\hat{u}) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=13.$.
Đáp án B.