Hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1$ nhận giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ -\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3} \right]$ tại:

Phương pháp giải:
- Tính y′, giải phương trình ${y}'=0$ xác định các nghiệm ${{x}_{i}}\in \left[ -\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3} \right]$.
- Tính các giá trị $y\left( -\dfrac{1}{3} \right);y\left( \dfrac{10}{3} \right);y\left( {{x}_{i}} \right)$.
- Kết luận: $\underset{\left[ -\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3} \right]}{\mathop{\min }} y=\min \left\{ y\left( -\dfrac{1}{3} \right);y\left( \dfrac{10}{3} \right);y\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\underset{\left[ -\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3} \right]}{\mathop{\max }} y=\max \left\{ y\left( -\dfrac{1}{3} \right);y\left( \dfrac{10}{3} \right);y\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$.
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1\Rightarrow {y}'={{x}^{2}}-4x+3$.
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1\in \left[ -\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3} \right] \\
x=3\in \left[ -\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3} \right] \\
\end{array} \right.$.
Ta có: $y\left( -\dfrac{1}{3} \right)=-\dfrac{181}{81};y\left( \dfrac{10}{3} \right)\approx -0,88;y\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3};y\left( 3 \right)=-1$.
Vậy $\underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( -\dfrac{1}{3} \right)=-\dfrac{181}{81}.$