Google
Câu hỏi: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}?$
A. $y=\dfrac{1}{x}$
B. $y=\cot x$
C. $y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}$
D. $y=\dfrac{-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$
A. $y=\dfrac{1}{x}$
B. $y=\cot x$
C. $y=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}$
D. $y=\dfrac{-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$
Phương pháp:
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và $y'\le 0\forall x\in \mathbb{R}$.
Cách giải:
Đáp án A và B loại do hai hàm số đó không xác định $\forall x\in \mathbb{R}$
Xét đáp án C ta có $y'=\dfrac{-2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}.$
Xét đáp án D ta có $y'=\dfrac{-3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{3}}.2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\le 0\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy hàm số $y=\dfrac{-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và $y'\le 0\forall x\in \mathbb{R}$.
Cách giải:
Đáp án A và B loại do hai hàm số đó không xác định $\forall x\in \mathbb{R}$
Xét đáp án C ta có $y'=\dfrac{-2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}.$
Xét đáp án D ta có $y'=\dfrac{-3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{3}}.2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\le 0\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy hàm số $y=\dfrac{-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Đáp án D.