Google
Câu hỏi: Hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 \right);$ hàm số bậc hai $y=g\left( x \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{2}} \right)$ đi qua điểm $B\left( 1;-4 \right).\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-1;2;3.$ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right).$
A. $\dfrac{115}{3}$
B. $\dfrac{32}{3}$
C. $\dfrac{71}{6}$
D. $\dfrac{112}{3}$
A. $\dfrac{115}{3}$
B. $\dfrac{32}{3}$
C. $\dfrac{71}{6}$
D. $\dfrac{112}{3}$
Cách giải:
Ta có:
$\left( {{C}_{1}} \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ nên $f\left( 1 \right)=0$
$\left( {{C}_{2}} \right)$ đi qua điểm $B\left( 1;-4 \right)$ nên $g\left( 1 \right)=-4.$
Vì $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-1;2;3$ nên ta có:
$f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( * \right)\left( a\ne 0 \right)$
Thay $x=1$ vào (*) ta có: $f\left( 1 \right)-g\left( 1 \right)=4a\Leftrightarrow 4=4a\Leftrightarrow a=1\left( tm \right).$
$\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right).$
Vậy diện tích cần tính là: $S=\left| \int\limits_{-1}^{2}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{2}^{3}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)dx} \right|=\dfrac{71}{6}.$
Ta có:
$\left( {{C}_{1}} \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$ nên $f\left( 1 \right)=0$
$\left( {{C}_{2}} \right)$ đi qua điểm $B\left( 1;-4 \right)$ nên $g\left( 1 \right)=-4.$
Vì $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-1;2;3$ nên ta có:
$f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\left( * \right)\left( a\ne 0 \right)$
Thay $x=1$ vào (*) ta có: $f\left( 1 \right)-g\left( 1 \right)=4a\Leftrightarrow 4=4a\Leftrightarrow a=1\left( tm \right).$
$\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right).$
Vậy diện tích cần tính là: $S=\left| \int\limits_{-1}^{2}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{2}^{3}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)dx} \right|=\dfrac{71}{6}.$
Đáp án C.