Hai nguồn sáng đồng bộ A, B dao động trên mặt nước, I là trung...

Phương pháp:
Vẽ hình theo các dữ kiện của bài.
Áp dụng biểu thức: $\tan \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)=\dfrac{\tan {{\varphi }_{1}}-\tan {{\varphi }_{2}}}{1+\tan {{\varphi }_{1}}\tan {{\varphi }_{2}}}$
Điều kiện có cực đại giao thoa: ${{d}_{2}}-{{d}_{1}}=k\lambda ;k\in Z$
Ta tìm được số cực đại trên AB là số giá trị k thỏa mãn $\dfrac{-AB}{\lambda }<k<\dfrac{AB}{\lambda }$
Tìm được k, ta xác định vị trí M (b) là điểm cực đại gần A nhất thỏa mãn: $B{{M}^{\prime }}-A{{M}^{\prime }}=k\lambda $
Lời giải:
Ta có hình vẽ

Áp dụng biểu thức:
$\tan \alpha =\tan (\angle \text{IMJ})=\tan (\angle IMA-\angle MA)\Leftrightarrow \tan \alpha =$ $\dfrac{\tan (\angle IMA)-\tan (\angle JMA)}{1+\tan (\angle IMA)\cdot \tan (\angle JMA)}$
$\Leftrightarrow \tan \alpha =\dfrac{\dfrac{AI}{AM}-\dfrac{\text{AJ}}{AM}}{1+\dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{\text{AJ}}{AM}}=\dfrac{\dfrac{\text{IJ}}{AM}}{1+\dfrac{AI\cdot \text{AJ}}{A{{M}^{2}}}}=$ $=\dfrac{1\text{J}}{AM+\dfrac{AI\cdot \text{AJ}}{AM}}=\dfrac{5}{x+\dfrac{AI.\text{AJ}}{x}}$
Biết rằng hàm tana là hàm đồng biến, nên khi a cực đại thì tang cực đại.
${{\left( \tan \alpha \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( x+\dfrac{AI.AJ}{x} \right)}_{\min }}$
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
$x+\dfrac{AI\cdot \text{AJ}}{x}\ge 2\sqrt{AI.A\text{J}}\Rightarrow $ $\left( x+\dfrac{AI\cdot \text{AJ}}{x} \right)\min \Leftrightarrow x=\dfrac{AI.\text{AJ}}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=AI\cdot \text{AJ}$
Từ đồ thị khi x = 6 thì a cực đại, nên: $AI\cdot AI={{6}^{2}}=36$
Tại x = 24 và x = a thì có cùng giá trị góc a. Ta có
$x+\dfrac{AI\cdot \text{AJ}}{x}\ge 2\sqrt{AI\cdot \text{AJ}}\Rightarrow $ $\left( x+\dfrac{AI\cdot \text{AJ}}{x} \right)\min \Leftrightarrow x=\dfrac{AI.\text{AJ}}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=AI\cdot \text{AJ}$
$\tan \alpha =\dfrac{5}{24+\dfrac{36}{24}}=\dfrac{5}{a+\dfrac{36}{a}}\Rightarrow a+\dfrac{36}{a}=25,5\Leftrightarrow $ ${{a}^{2}}-25,5a+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{a}_{1}}=1,5cm \\
{{a}_{2}}=24cm \\
\end{array} \right.$
Vậy a = 1,5cm.
Từ AI.AJ = 36, mà IJ = 5 cm, nên ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AI.AJ=36 \\
AI=AJ+5 \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AI=9\text{cm} \\
AJ=4\text{cm} \\
\end{array} \right. \right.$
Vậy AB = 2AI = 18 cm.
Khi M ở vị trí x = 24 cm thì M là cực đại xa A nhất, áp dụng điều kiện cực đại cho M ta có
$BM-AM=\lambda \Leftrightarrow \sqrt{B{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}-AM=\lambda \Rightarrow \lambda =\sqrt{{{18}^{2}}+{{24}^{2}}}-24=6\text{cm}$
Số cực đại trên AB thỏa mãn điều kiện:
$\dfrac{-AB}{\lambda }<k<\dfrac{AB}{\lambda }\Rightarrow \dfrac{-18}{6}<k<\dfrac{18}{6}\Rightarrow -3<k<3$
Không kể hai nguồn A, B, khi M ở vị trí x = b thì M là cực đại gần A nhất, ứng với k = 2, ta có:
$B{{M}^{\prime }}-A{{M}^{\prime }}=2\lambda \Leftrightarrow \sqrt{B{{A}^{2}}+AM{{'}^{2}}}-A{{M}^{\prime }}=2\lambda \Rightarrow \lambda =\sqrt{{{18}^{2}}+{{b}^{2}}}-b=2.6=12\Rightarrow b=7,5\text{cm}$
Ta có tỉ số $\dfrac{b}{a}=\dfrac{7,5}{1,5}=5$
Vậy giá trị gần nhất là 5,05.