Google
Câu hỏi: Hai đoạn mạch điện X và Y là các đoạn mạch chứa điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tự điện mắc nối tiếp. Đặt điện áp xoay chiều
$\mathrm{u}=\mathrm{U} \sqrt{2} \cos \omega \mathrm{t}$ (U là hằng số dương, ω có thể thay đổi) lần lượt vào hai đầu đoạn mạch X và Y thì công suất tiêu thụ trên hai đoạn mạch lần lượt là PX và PY. Hai công suất này biến thiên theo ω được biểu diễn bằng hai đồ thị như hình bên.
Nếu đặt điện áp trên vào hai đầu đoạn mạch AB gồm đoạn mạch X mắc nối tiếp với đoạn mạch Y thì khi ω = ω2, công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 24 W
B. 22 W
C. 20 W.
D. 50 W
$\mathrm{u}=\mathrm{U} \sqrt{2} \cos \omega \mathrm{t}$ (U là hằng số dương, ω có thể thay đổi) lần lượt vào hai đầu đoạn mạch X và Y thì công suất tiêu thụ trên hai đoạn mạch lần lượt là PX và PY. Hai công suất này biến thiên theo ω được biểu diễn bằng hai đồ thị như hình bên.
Nếu đặt điện áp trên vào hai đầu đoạn mạch AB gồm đoạn mạch X mắc nối tiếp với đoạn mạch Y thì khi ω = ω2, công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 24 W
B. 22 W
C. 20 W.
D. 50 W
Cách giải 1: Theo đồ thị ta có PX max = $\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{x}}}=40$ W (1)
${{P}_{Y\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{y}}}=60$ W (2)
=> ${{R}_{Y}}=\dfrac{2}{3}{{R}_{x}}$ (3)
và U2 = 40Rx = 60Ry (4)
Khi $\omega=\omega_{2}$ : Px = Py = 20W $\Rightarrow $ $\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{x}}}{R_{x}^{2}+{{\left( {{Z}_{Lx}}-{{Z}_{Cx}} \right)}^{2}}}=20$ W
$\Rightarrow $ $\dfrac{40R_{x}^{2}}{R_{x}^{2}+{{\left( {{Z}_{Lx}}-{{Z}_{Cx}} \right)}^{2}}}=20$ W $\Rightarrow $ Rx = ZLx – ZCx (vì 2 > 1 nên ZLx2 > XCx2)
$\Rightarrow \dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{y}}}{R_{y}^{2}+{{\left( {{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}}}=20$ W $\Rightarrow $ $\dfrac{60R_{y}^{2}}{R_{y}^{2}+{{\left( {{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}}}=20W$
$\Rightarrow $ $\sqrt{2}$ Ry = ZCy – ZLy (vì ZLy2 < ZCy2)
Khi $\omega=\omega_{2}$ : ${{P}_{AB}}=\dfrac{{{U}^{2}}\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}{{{\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{Lx}}+{{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cx}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{U}^{2}}\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}{{{\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}^{2}}+\left[ {{Z}_{Lx}}-{{Z}_{CX}}+{{\left( {{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}} \right]}=$ $\dfrac{{{U}^{2}}\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}{{{\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}^{2}}+{{\left( {{R}_{x}}-\sqrt{2}{{R}_{y}} \right)}^{2}}}$
= $\dfrac{{{U}^{2}}\dfrac{5}{3}{{R}_{x}}}{\dfrac{25}{9}R_{x}^{2}+{{\left( {{R}_{x}}-\sqrt{2}\dfrac{2}{3}{{R}_{x}} \right)}^{2}}}=$ $\dfrac{5}{14-4\sqrt{2}}.\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{X}}}$
= $\dfrac{5}{14-4\sqrt{2}}.40=23,97$ W = 24 W.
Cách giải 2:
Theo đồ thị ta thấy các giá trị cực đại $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}}=40W \\
& \dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{2}}}=60W \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{40} \\
& {{R}_{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{60} \\
\end{aligned} \right.$ (1)
Mặt khác với ${{\omega }_{2}}>{{\omega }_{1}}$ và ${{\omega }_{3}}>{{\omega }_{2}}$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{P}_{X}}=20Wva mach X co {{Z}_{L1}}>{{Z}_{C1}} \\
& {{P}_{Y}}=20Wva mach Y co {{Z}_{L2}}<{{Z}_{C2}} \\
\end{aligned} \right.$
Từ công thức $P=\dfrac{{{U}^{2}}}{R}{{\cos }^{2}}\varphi \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\varphi }_{1}}={{45}^{0}} \\
& {{\varphi }_{2}}=54,{{376}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}}={{R}_{1}} \\
& {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}}=-\sqrt{2}{{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{Z}_{L1}}+{{Z}_{L2}}-\left( {{Z}_{C1}}+{{Z}_{C2}} \right)={{R}_{1}}-\sqrt{2}{{R}_{2}}$ (2)
Khi 2 mạch nối tiếp thì $\cos \varphi =\dfrac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left[ {{Z}_{L1}}+{{Z}_{L2}}-\left( {{Z}_{C1}}+{{Z}_{C2}} \right) \right]}^{2}}}}$
Từ (1), (2) và (3) ta có: ${{\cos }^{2}}\varphi =0,9988\Rightarrow P=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{{\cos }^{2}}\varphi =23,97$ W
${{P}_{Y\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{y}}}=60$ W (2)
=> ${{R}_{Y}}=\dfrac{2}{3}{{R}_{x}}$ (3)
và U2 = 40Rx = 60Ry (4)
Khi $\omega=\omega_{2}$ : Px = Py = 20W $\Rightarrow $ $\dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{x}}}{R_{x}^{2}+{{\left( {{Z}_{Lx}}-{{Z}_{Cx}} \right)}^{2}}}=20$ W
$\Rightarrow $ $\dfrac{40R_{x}^{2}}{R_{x}^{2}+{{\left( {{Z}_{Lx}}-{{Z}_{Cx}} \right)}^{2}}}=20$ W $\Rightarrow $ Rx = ZLx – ZCx (vì 2 > 1 nên ZLx2 > XCx2)
$\Rightarrow \dfrac{{{U}^{2}}{{R}_{y}}}{R_{y}^{2}+{{\left( {{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}}}=20$ W $\Rightarrow $ $\dfrac{60R_{y}^{2}}{R_{y}^{2}+{{\left( {{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}}}=20W$
$\Rightarrow $ $\sqrt{2}$ Ry = ZCy – ZLy (vì ZLy2 < ZCy2)
Khi $\omega=\omega_{2}$ : ${{P}_{AB}}=\dfrac{{{U}^{2}}\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}{{{\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{Lx}}+{{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cx}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{U}^{2}}\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}{{{\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}^{2}}+\left[ {{Z}_{Lx}}-{{Z}_{CX}}+{{\left( {{Z}_{Ly}}-{{Z}_{Cy}} \right)}^{2}} \right]}=$ $\dfrac{{{U}^{2}}\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}{{{\left( {{R}_{x}}+{{R}_{y}} \right)}^{2}}+{{\left( {{R}_{x}}-\sqrt{2}{{R}_{y}} \right)}^{2}}}$
= $\dfrac{{{U}^{2}}\dfrac{5}{3}{{R}_{x}}}{\dfrac{25}{9}R_{x}^{2}+{{\left( {{R}_{x}}-\sqrt{2}\dfrac{2}{3}{{R}_{x}} \right)}^{2}}}=$ $\dfrac{5}{14-4\sqrt{2}}.\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{X}}}$
= $\dfrac{5}{14-4\sqrt{2}}.40=23,97$ W = 24 W.
Cách giải 2:
Theo đồ thị ta thấy các giá trị cực đại $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}}=40W \\
& \dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{2}}}=60W \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{40} \\
& {{R}_{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{60} \\
\end{aligned} \right.$ (1)
Mặt khác với ${{\omega }_{2}}>{{\omega }_{1}}$ và ${{\omega }_{3}}>{{\omega }_{2}}$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{P}_{X}}=20Wva mach X co {{Z}_{L1}}>{{Z}_{C1}} \\
& {{P}_{Y}}=20Wva mach Y co {{Z}_{L2}}<{{Z}_{C2}} \\
\end{aligned} \right.$
Từ công thức $P=\dfrac{{{U}^{2}}}{R}{{\cos }^{2}}\varphi \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\varphi }_{1}}={{45}^{0}} \\
& {{\varphi }_{2}}=54,{{376}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}}={{R}_{1}} \\
& {{Z}_{L2}}-{{Z}_{C2}}=-\sqrt{2}{{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{Z}_{L1}}+{{Z}_{L2}}-\left( {{Z}_{C1}}+{{Z}_{C2}} \right)={{R}_{1}}-\sqrt{2}{{R}_{2}}$ (2)
Khi 2 mạch nối tiếp thì $\cos \varphi =\dfrac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left[ {{Z}_{L1}}+{{Z}_{L2}}-\left( {{Z}_{C1}}+{{Z}_{C2}} \right) \right]}^{2}}}}$
Từ (1), (2) và (3) ta có: ${{\cos }^{2}}\varphi =0,9988\Rightarrow P=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{{\cos }^{2}}\varphi =23,97$ W
Đáp án A.