Google
Câu hỏi: Hai con lắc lò xo lí tưởng gồm hai lò xo có độ cứng k1 =20 N/m; k2 = 80 N/m và hai vật gắn vào hai đầu lò xo có khối lượng m1 = m2 = m = 500 g. Cho hai con lắc lò xo mắc vào hai mặt tường đối điện nhau và cùng đặt trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát như hình vẽ (các lò xo đồng trục). Khi hai lò xo chưa biến dạng thì khoảng cách hai vật là 12 cm. Lúc đầu, giữ các vật để cho các lò xo đều bị nén đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động với cùng cơ năng 0,1 J. Lấy π2 = 10. Thời điểm thứ 3 (kể từ lúc thả các vật), khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất là:
A. 2/3 (s)
B. 7/3 (s).
C. 4/3 (s).
D. 5/3 (s)
A. 2/3 (s)
B. 7/3 (s).
C. 4/3 (s).
D. 5/3 (s)
Phương pháp:
Công thức tính tần số góc $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
Công thức tính cơ năng: $W=\dfrac{1}{2}.k.{{A}^{2}}$
Cách giải:
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{1}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{20}{0,5}}=2\sqrt{10}\left( rad/s \right) \\
& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{2}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{80}{0,5}}=4\sqrt{10}\left( rad/s \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{T}_{1}}=2{{T}_{2}}$
Từ công thức cơ năng ta tính được biên độ dao động của vật 1 là:
$W=\dfrac{1}{2}.{{k}_{1}}.A_{1}^{2}~\Rightarrow {{A}_{1~}}=\sqrt{\dfrac{2W}{{{k}_{1}}~}}=\sqrt{\dfrac{2.0,1}{20}}=0,1m=10cm$
Từ công thức tính cơ năng ta tính được biên độ dao động của vật 2 là :
$W=\dfrac{1}{2}.{{k}_{2}}.A_{2}^{2}~\Rightarrow {{A}_{2~}}=\sqrt{\dfrac{2W}{{{k}_{2}}~}}=\sqrt{\dfrac{2.0,1}{80}}=0,1m=5cm$
Chọn hệ tọa độ Ox trùng với phương nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải, gốc O ở vị trí cân bằng của vật 1.
Phương trình dao động của vật 1: ${{x}_{1}}=10.\cos \left( 2\pi t-\pi \right)\left( cm \right)$
Phương trình dao động của vật 2: ${{x}_{2}}=12+5.\cos \left( 4\pi t \right)\left( cm \right)$
Khoảng cách giữa hai vật là:
$\Delta d={{x}_{2}}-{{x}_{1}}~=12+5.\cos 4\pi t-10\cos \left( 2~\pi t~-~\pi ~ \right)~$
$\Delta d=12+5.\left( 2.co{{s}^{2}}~\left( 2\pi t \right)-1 \right)-10.\cos \left( 2~\pi t~-\pi ~ \right)$
$\Delta d=7+10.co{{s}^{2}}\left( 2\pi t \right)-10.\cos \left( 2~\pi t~-~\pi ~ \right)$
$\Delta d=7+10.co{{s}^{2}}\left( 2\pi t \right)+~10\cos \left( 2~\pi t \right)~$
Đặt \cos 2πt = u ta được hàm: $\Delta d=10{{u}^{2}}+10u+7$
Ta có bảng biến thiên:
Vậy khi $u=-\dfrac{1}{2}$ thì khoảng cách giữa vật 1 và 2 nhỏ nhất.
Ta có: $\cos \left( 2\pi t \right)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\pi t=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\
& 2\pi t=\dfrac{4\pi }{3}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1}{3}+k \\
& t=\dfrac{2}{3}+k \\
\end{aligned} \right.$
Vậy lần thứ 3 vật có khoảng cách nhỏ nhất là: ${{t}_{3}}=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$
Công thức tính tần số góc $\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
Công thức tính cơ năng: $W=\dfrac{1}{2}.k.{{A}^{2}}$
Cách giải:
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{1}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{20}{0,5}}=2\sqrt{10}\left( rad/s \right) \\
& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{2}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{80}{0,5}}=4\sqrt{10}\left( rad/s \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{T}_{1}}=2{{T}_{2}}$
Từ công thức cơ năng ta tính được biên độ dao động của vật 1 là:
$W=\dfrac{1}{2}.{{k}_{1}}.A_{1}^{2}~\Rightarrow {{A}_{1~}}=\sqrt{\dfrac{2W}{{{k}_{1}}~}}=\sqrt{\dfrac{2.0,1}{20}}=0,1m=10cm$
Từ công thức tính cơ năng ta tính được biên độ dao động của vật 2 là :
$W=\dfrac{1}{2}.{{k}_{2}}.A_{2}^{2}~\Rightarrow {{A}_{2~}}=\sqrt{\dfrac{2W}{{{k}_{2}}~}}=\sqrt{\dfrac{2.0,1}{80}}=0,1m=5cm$
Chọn hệ tọa độ Ox trùng với phương nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải, gốc O ở vị trí cân bằng của vật 1.
Phương trình dao động của vật 1: ${{x}_{1}}=10.\cos \left( 2\pi t-\pi \right)\left( cm \right)$
Phương trình dao động của vật 2: ${{x}_{2}}=12+5.\cos \left( 4\pi t \right)\left( cm \right)$
Khoảng cách giữa hai vật là:
$\Delta d={{x}_{2}}-{{x}_{1}}~=12+5.\cos 4\pi t-10\cos \left( 2~\pi t~-~\pi ~ \right)~$
$\Delta d=12+5.\left( 2.co{{s}^{2}}~\left( 2\pi t \right)-1 \right)-10.\cos \left( 2~\pi t~-\pi ~ \right)$
$\Delta d=7+10.co{{s}^{2}}\left( 2\pi t \right)-10.\cos \left( 2~\pi t~-~\pi ~ \right)$
$\Delta d=7+10.co{{s}^{2}}\left( 2\pi t \right)+~10\cos \left( 2~\pi t \right)~$
Đặt \cos 2πt = u ta được hàm: $\Delta d=10{{u}^{2}}+10u+7$
Ta có bảng biến thiên:
Vậy khi $u=-\dfrac{1}{2}$ thì khoảng cách giữa vật 1 và 2 nhỏ nhất.
Ta có: $\cos \left( 2\pi t \right)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\pi t=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\
& 2\pi t=\dfrac{4\pi }{3}+k2\pi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1}{3}+k \\
& t=\dfrac{2}{3}+k \\
\end{aligned} \right.$
Vậy lần thứ 3 vật có khoảng cách nhỏ nhất là: ${{t}_{3}}=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$
Đáp án C.