Google
Câu hỏi: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng được treo vào hai điểm gần nhau cùng một độ cao, cho hai con lắc dao động điều hòa trong hai mặt phẳng song song. Chu kỳ dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lần chu kỳ dao động của con lắc thứ hai và biên độ góc dao động của con lắc thứ hai bằng hai lần biên độ góc dao động của con lắc thứ nhất. Tại một thời điểm hai sợi dây treo song song với nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng, khi đó tỉ số độ lớn vận tốc của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai là
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$
Theo đề bài:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{T}_{1}}=2{{T}_{2}} \\
& {{\alpha }_{02}}=2{{\alpha }_{01}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\omega }_{2}}=2{{\omega }_{1}} \\
& {{\alpha }_{02}}=2{{\alpha }_{01}} \\
\end{aligned} \right.$
Tại một thời điểm hai sợi dây treo song song với nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng nên:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}} \\
& {{\text{W}}_{d1}}=3{{\text{W}}_{t1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}} \\
& {{\text{W}}_{1}}=4{{\text{W}}_{t1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=\dfrac{{{\alpha }_{01}}}{2}$
Công thức tính vận tốc của con lắc đơn:
$v=\sqrt{g\ell .(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})}=g\sqrt{\dfrac{\ell }{g}.(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})}=\dfrac{g}{\omega }\sqrt{\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}}}$
Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất:
${{v}_{1}}=\dfrac{g}{{{\omega }_{1}}}\sqrt{\alpha _{01}^{2}-\dfrac{\alpha _{01}^{2}}{4}}=\dfrac{g.{{\alpha }_{01}}}{{{\omega }_{1}}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Vận tốc của con lắc đơn thứ hai:
${{v}_{2}}=\dfrac{g}{{{\omega }_{2}}}\sqrt{\alpha _{02}^{2}-\dfrac{\alpha _{01}^{2}}{4}}=\dfrac{g}{2{{\omega }_{1}}}\sqrt{4\alpha _{01}^{2}-\dfrac{\alpha _{01}^{2}}{4}}=\dfrac{g.{{\alpha }_{01}}}{2{{\omega }_{1}}}\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Tỉ số độ lớn vận tốc của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai là
$\dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{g.{{\alpha }_{01}}}{{{\omega }_{1}}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2{{\omega }_{1}}}{g.{{\alpha }_{01}}}\dfrac{2}{\sqrt{15}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{T}_{1}}=2{{T}_{2}} \\
& {{\alpha }_{02}}=2{{\alpha }_{01}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\omega }_{2}}=2{{\omega }_{1}} \\
& {{\alpha }_{02}}=2{{\alpha }_{01}} \\
\end{aligned} \right.$
Tại một thời điểm hai sợi dây treo song song với nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng nên:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}} \\
& {{\text{W}}_{d1}}=3{{\text{W}}_{t1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}} \\
& {{\text{W}}_{1}}=4{{\text{W}}_{t1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=\dfrac{{{\alpha }_{01}}}{2}$
Công thức tính vận tốc của con lắc đơn:
$v=\sqrt{g\ell .(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})}=g\sqrt{\dfrac{\ell }{g}.(\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}})}=\dfrac{g}{\omega }\sqrt{\alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}}}$
Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất:
${{v}_{1}}=\dfrac{g}{{{\omega }_{1}}}\sqrt{\alpha _{01}^{2}-\dfrac{\alpha _{01}^{2}}{4}}=\dfrac{g.{{\alpha }_{01}}}{{{\omega }_{1}}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Vận tốc của con lắc đơn thứ hai:
${{v}_{2}}=\dfrac{g}{{{\omega }_{2}}}\sqrt{\alpha _{02}^{2}-\dfrac{\alpha _{01}^{2}}{4}}=\dfrac{g}{2{{\omega }_{1}}}\sqrt{4\alpha _{01}^{2}-\dfrac{\alpha _{01}^{2}}{4}}=\dfrac{g.{{\alpha }_{01}}}{2{{\omega }_{1}}}\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Tỉ số độ lớn vận tốc của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai là
$\dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{g.{{\alpha }_{01}}}{{{\omega }_{1}}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2{{\omega }_{1}}}{g.{{\alpha }_{01}}}\dfrac{2}{\sqrt{15}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Đáp án B.