Google
Câu hỏi: Hai chất điểm dao động điều hòa với cùng tần số, có li độ ở thời điểm t là x1 và x2. Giá trị cực đại của tích x1 .x2 là M, giá trị cực tiểu của x1 .x2 là $-\dfrac{M}{4}$ Độ lệch pha giữa x1 và x2 có độ lớn gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 0,95 rad
B. 1,82 rad
C. 1,04 rad
D. 1,82 rad
A. 0,95 rad
B. 1,82 rad
C. 1,04 rad
D. 1,82 rad
Phương pháp:
Phương trình dao động điều hòa $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{array} \right.$
Xét tích ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{A}_{1}}.{{A}_{2}}\cdot \dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Lời giải:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{array} \right.$
Xét tích ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{A}_{1}}.{{A}_{2}}\cdot \dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Tích đó có giá trị cực đại khi $\cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=1$ và cực tiểu khi $\cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=-1$ khi đó:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\left[ 1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=M\quad (1) \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\left[ -1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=\dfrac{-M}{4}\left( 2 \right) \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(1)+(2)\Rightarrow \cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)=\dfrac{3}{4}\dfrac{M}{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\left( 3 \right) \\
(1)-(2)\Rightarrow {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}=\dfrac{5}{4}M\left( 4 \right) \\
\end{array} \right.$
Từ (1) và (4) $\Rightarrow \cos \Delta \varphi =\dfrac{3}{5}\Rightarrow \Delta \varphi =0,93\text{ rad }$
Phương trình dao động điều hòa $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{array} \right.$
Xét tích ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{A}_{1}}.{{A}_{2}}\cdot \dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Lời giải:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\
\end{array} \right.$
Xét tích ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{A}_{1}}.{{A}_{2}}\cdot \dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Tích đó có giá trị cực đại khi $\cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=1$ và cực tiểu khi $\cos \left( 2\omega t+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=-1$ khi đó:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\left[ 1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=M\quad (1) \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}\left[ -1+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right]=\dfrac{-M}{4}\left( 2 \right) \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow $ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(1)+(2)\Rightarrow \cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)=\dfrac{3}{4}\dfrac{M}{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\left( 3 \right) \\
(1)-(2)\Rightarrow {{A}_{1}}\cdot {{A}_{2}}=\dfrac{5}{4}M\left( 4 \right) \\
\end{array} \right.$
Từ (1) và (4) $\Rightarrow \cos \Delta \varphi =\dfrac{3}{5}\Rightarrow \Delta \varphi =0,93\text{ rad }$
Đáp án A.