Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{3}}-5{{z}^{2}}+17z-13=0$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là điểm biểu diễn hình học của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$. Tính diện tích tam giác $ABC$
A. ${{S}_{\Delta ABC}}=3$.
B. ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{5}{2}$.
C. ${{S}_{\Delta ABC}}=4$.
D. ${{S}_{\Delta ABC}}=6$.
A. ${{S}_{\Delta ABC}}=3$.
B. ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{5}{2}$.
C. ${{S}_{\Delta ABC}}=4$.
D. ${{S}_{\Delta ABC}}=6$.
Ta có ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{3}}-5{{z}^{2}}+17z-13=0$
Phương trình tương đương: $\Leftrightarrow \left( z-1 \right)\left( {{z}^{2}}-4z+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z-1=0 \\
& {{z}^{2}}-4z+13=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& {{\left( z-2 \right)}^{2}}-{{\left( 3i \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& \left( z-2-3i \right)\left( z-2+3i \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& z=2+3i \\
& z=2-3i \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra các điểm $ A,B,C $biểu diễn hình học của $ {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}} $ lần lượt có tọa độ là $ A\left( 1;0 \right),B\left( 2;3 \right),C\left( 2;-3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 1;3 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 1;-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=-6$.
Vậy diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=3$.
Phương trình tương đương: $\Leftrightarrow \left( z-1 \right)\left( {{z}^{2}}-4z+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z-1=0 \\
& {{z}^{2}}-4z+13=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& {{\left( z-2 \right)}^{2}}-{{\left( 3i \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& \left( z-2-3i \right)\left( z-2+3i \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& z=2+3i \\
& z=2-3i \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra các điểm $ A,B,C $biểu diễn hình học của $ {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}} $ lần lượt có tọa độ là $ A\left( 1;0 \right),B\left( 2;3 \right),C\left( 2;-3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 1;3 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 1;-3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=-6$.
Vậy diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=3$.
Đáp án A.