Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các số phức thoả mãn điều kiện $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=3$ và $\left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $1$.
A. $\sqrt{5}$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $1$.
Ta có:
$9={{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+3\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)$ $\left( 1 \right)$
$1={{\left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 3{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 3\overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}} \right)=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)$ $\left( 2 \right)$
Cộng vế $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $10=10\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=1$.
Ta có: ${{P}^{2}}={{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)=2$ $\Rightarrow P\le \sqrt{2}$.
Dấu " $=$ " xảy ra $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $\max P=\sqrt{2}$.
$9={{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+3\overline{{{z}_{2}}} \right)={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+9{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)$ $\left( 1 \right)$
$1={{\left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( 3{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( 3\overline{{{z}_{1}}}-\overline{{{z}_{2}}} \right)=9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-3\left( {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}} \right)$ $\left( 2 \right)$
Cộng vế $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $10=10\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=1$.
Ta có: ${{P}^{2}}={{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)=2$ $\Rightarrow P\le \sqrt{2}$.
Dấu " $=$ " xảy ra $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $\max P=\sqrt{2}$.
Đáp án C.