Google
Câu hỏi: Gọi ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các ngiệm phức của phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$, $\left( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0,{{b}^{2}}-4ac<0 \right)$. Đặt $P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $P=\dfrac{c}{2a}$.
B. $P=\dfrac{c}{a}$.
C. $P=\dfrac{2c}{a}$.
D. $P=\dfrac{4c}{a}$.
A. $P=\dfrac{c}{2a}$.
B. $P=\dfrac{c}{a}$.
C. $P=\dfrac{2c}{a}$.
D. $P=\dfrac{4c}{a}$.
Ta có ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các ngiệm phức của phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ nên ${{z}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a}$
Do đó ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{b}{a}$ và ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\dfrac{i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{a}$
Suy ra $P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{-b}{a} \right)}^{2}}+\dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4c}{a}$.
Do đó ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{b}{a}$ và ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\dfrac{i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{a}$
Suy ra $P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{-b}{a} \right)}^{2}}+\dfrac{4ac-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4c}{a}$.
Đáp án D.