Gọi $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ${{\log...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $t={{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+y \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{9}^{t}} \\
& y={{12}^{t}} \\
& x+y={{16}^{t}} \\
\end{aligned} \right. $(1) . Ta có $ \dfrac{x}{y}=\dfrac{{{9}^{t}}}{{{12}^{t}}}={{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}$.
Từ (1) suy ra ${{9}^{t}}+{{12}^{t}}={{16}^{t}}\Leftrightarrow {{9}^{t}}+{{12}^{t}}-{{16}^{t}}=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{9}^{t}}}{{{16}^{t}}}+\dfrac{{{12}^{t}}}{{{16}^{t}}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}-1=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
& {{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{t}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Mà $\dfrac{x}{y}=\dfrac{-a+\sqrt{b}}{2}$. Suy ra $\dfrac{x}{y}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=1;b=5$.
Vậy $P=1.5=5$.