Gọi $X$ là tập hợp các số nguyên $m\in \left[ -2021;2021 \right]$...

Phương pháp:
Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|=m+n$ với $m$ là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right),n$ là số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$ (không tính nghiệm kép).
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+mx+m$ ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2\left( 2m+1 \right)x+m.$
Ta có $\Delta '={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3m=4{{m}^{2}}+m+1>0\forall m$ nên phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( x \right)$ luôn có 2 điểm cực trị với mọi $m.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với trục hoành:
${{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+mx+m=0\left( * \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2mx-m=0\left( ** \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+mx+m \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow $ Phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{m}^{2}}+m>0 \\
& 1-2m-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left[ -2021;-1 \right]\cup \left( 0;2021 \right]\backslash \left\{ \dfrac{1}{3} \right\} \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m\in \left\{ -2021;-2020;...;-2;1;2;...;2021 \right\}=X$
Vậy tổng các phần tử của X bằng 1.