Google
Câu hỏi: Gọi tập ${K}$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để phương trình ${\sin 2x+\sqrt{2 }\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)-2=m}$ có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ${\left( 0;\dfrac{3\pi }{4} \right)}$. Hỏi ${K}$ là tập con của tập hợp nào dưới đây?
A. ${\left( -\sqrt{2 };\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}$.
B. ${\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]}$.
C. ${\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\sqrt{2} \right]}$.
D. ${\left( 1-\sqrt{2 };\sqrt{2 } \right)}$.
A. ${\left( -\sqrt{2 };\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}$.
B. ${\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right]}$.
C. ${\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\sqrt{2} \right]}$.
D. ${\left( 1-\sqrt{2 };\sqrt{2 } \right)}$.
Đặt = $t=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right) do x\in \left( 0;\dfrac{3\pi }{4} \right)$ nên $x+\dfrac{\pi }{4}\in \left( \dfrac{\pi }{4};\pi \right)$ khi đó \ (0 khi đó
${{t}^{2}}={{\sin }^{2}}\left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 1+2\sin x\cos x \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+\sin 2x \right)$
Suy ra $\sin 2x=2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3,t\in \left( 0;1 \right]$ phương trình đã cho trở thành $2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3=m \left( 1 \right)$
Xét hàm số f (t) = $2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3,$ t $\in $ (0; 1]
Có $f'\left( t \right)=4t+\sqrt{2};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\notin $ (0; 1] từ đó ta có bảng biến thiên như sau :
- Để phương tình có đúng hai nghiệm thuộc khoáng $\left( 0;\dfrac{3\pi }{4} \right)$ dựa vào cung $\left( \dfrac{\pi }{4};\pi \right)$ dưới đây
Thì $\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)<1$ hay phương trình $2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3=m \left( 1 \right)$ có đúng một nghiệmt thỏa mãn
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}<t<1 \left( 2 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên trên để thỏa mãn điều kiện (2) ta có \(-1Vậy m $\in \left( -1;\sqrt{2}-1 \right)\subset \left( -\sqrt{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
${{t}^{2}}={{\sin }^{2}}\left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 1+2\sin x\cos x \right)=\dfrac{1}{2}\left( 1+\sin 2x \right)$
Suy ra $\sin 2x=2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3,t\in \left( 0;1 \right]$ phương trình đã cho trở thành $2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3=m \left( 1 \right)$
Xét hàm số f (t) = $2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3,$ t $\in $ (0; 1]
Có $f'\left( t \right)=4t+\sqrt{2};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\notin $ (0; 1] từ đó ta có bảng biến thiên như sau :
- Để phương tình có đúng hai nghiệm thuộc khoáng $\left( 0;\dfrac{3\pi }{4} \right)$ dựa vào cung $\left( \dfrac{\pi }{4};\pi \right)$ dưới đây
Thì $\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)<1$ hay phương trình $2{{t}^{2}}+\sqrt{2}t-3=m \left( 1 \right)$ có đúng một nghiệmt thỏa mãn
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}<t<1 \left( 2 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên trên để thỏa mãn điều kiện (2) ta có \(-1Vậy m $\in \left( -1;\sqrt{2}-1 \right)\subset \left( -\sqrt{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$
Đáp án A.