Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng...

Phương pháp:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số.
- Tìm điều kiện của mđể phường trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.
- Áp dụng định lí Vi – et để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị của mthỏa mãn BC= $2\sqrt{3}$
Cách giải:
TXĐ : D = $\mathbb{R}$

$d:y=x+m-1$

$\left( C \right):y={{x}^{3}}+\left( m-3 \right){{x}^{2~}}+x~+~1~$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( )C là :

$\begin{aligned}

& \begin{array}{*{35}{l}}

x+m-1={{x}^{3}}+\left( m-3 \right){{x}^{2}}~+x~+~1\left( 1~ \right) \\

\Leftrightarrow {{x}^{3}}+\left( m-3 \right)~{{x}^{2}}-m~+2=~0 \\

\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)+\left( m-2 \right){{x}^{2}}-\left( m-2 \right)x+\left( m-2 \right)x-\left( m~-2 \right)~=~0~ \\

\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}~+\left( m-2 \right)x+m~-2 \right)~=~0~ \\

\end{array} \\

& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& x=1 \\

& {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+\left( m-2 \right)=0\left( 2 \right) \\

\end{aligned} \right. \\

\end{aligned}$

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó, phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

Suy ra :

$\left\{ \begin{aligned}

& \Delta >0 \\

& {{1}^{2}}+\left( m-2 \right).1+m-2\ne 0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& {{\left( m-2 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)>0 \\

& 2m-3\ne 0 \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}

& \left( m-2 \right)\left( m-6 \right)>0 \\

& m\ne \dfrac{3}{2} \\

\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& m>6 \\

& \left\{ \begin{aligned}

& m<2 \\

& m\ne \dfrac{3}{2} \\

\end{aligned} \right.\left( * \right) \\

\end{aligned} \right.$

Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}

& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m \\

& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2 \\

\end{aligned} \right.$

Suy ra $B\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m-1 \right);C\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m-1 \right)$

Ta có:

BC = $2\sqrt{3}$

$\begin{aligned}

& \begin{array}{*{35}{l}}

\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( {{x}_{2}}+m-1 \right)\left( {{x}_{1}}~+m~-1 \right) \right]}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3}~ \right)}^{2}} \\

\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}~=12~ \\

\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}=6~ \\

\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}~-4\left( m~-2 \right)~=~6 \\

\Leftrightarrow {{\left( 2-m \right)}^{2}}~-4\left( m~-2 \right)=~6~ \\

\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+4-4m~+8=~6~ \\

\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m~+6=~0 \\

\end{array} \\

& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}

& m=4+\sqrt{10} \\

& m=4-\sqrt{10} \\

\end{aligned} \right.\left( tm\left( * \right) \right)\Rightarrow S=\left\{ 4+\sqrt{10};4-\sqrt{10} \right\} \\

\end{aligned}$

Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S bằng 52.