Gọi $S=\left( a+b\sqrt{2} ; c \right]$, $\left( a , b , c\in \mathbb{Q} \right)$ là tập hợp tất cả các giá trị $m$ để phương trình...

Ta có $x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}=m+x\sqrt{9-{{x}^{2}}}$.
Điều kiện $x\in \left[ -3 ; 3 \right]$.
Đặt $t=x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}$ ; ${t}'=1-\dfrac{x}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}} , x\in \left( -3;3 \right)$.
Khi đó ${t}'=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:
● Với mỗi giá trị của $t\in \left[ -3;3 \right)\cup \left\{ 3\sqrt{2} \right\}$ thì có $1$ giá trị của $x$ tương ứng.
● Với mỗi giá trị của $t\in \left[ 3;3\sqrt{2} \right)$ thì có 2 giá trị của $x$ tương ứng.
Có $t=x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow x.\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành $t=m+\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}$ $\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+2t+9=2m$.
Xét hàm số: $y=-{{t}^{2}}+2t+9, t\in \left[ -3 ; 3\sqrt{2} \right]$.
${y}'=-2t+2$ ; ${y}'=0$ $\Leftrightarrow t=1$.
Bảng biến thiên:


Từ BBT, ta thấy phương trình $x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}=m+x\sqrt{9-{{x}^{2}}}$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt
$\Leftrightarrow $ $-9+6\sqrt{2}<2m\le 6$.
$\Leftrightarrow -\dfrac{9}{2}+3\sqrt{2}<m\le 3$.
Khi đó $a=-\dfrac{9}{2} , b=3 , c=3$ $\Rightarrow T=a+b+c=\dfrac{3}{2}$.