Gọi $S$ là tổng các nghiệm của phương trình $\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{8}}\left( 4x \right)+1=0.$ Tính giá trị của $S.$

Điều kiện: $x>0.$
$\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}x-6{{\log }_{6}}\left( 4x \right)+1=0.$
$\Leftrightarrow \log _{{{2}^{-1}}}^{2}x-6{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left( 4x \right)+1=0.$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2\left( \log _{2}^{{}}4+{{\log }_{2}}x \right)+1=0.$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3=0.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x=-1 \\
& {{\log }_{2}}x=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2}\left( TM \right) \\
& x=8\left( TM \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $S=\dfrac{1}{2}+8=\dfrac{17}{2}.$