Gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình...

$9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ $\left( * \right)$.
Trường hợp 1: $\left( * \right)$ có nghiệm thực $\Leftrightarrow {\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 9-9\left( 1-m \right)\ge 0\Leftrightarrow m\ge 1$.
$\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=1 \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$z=1\Rightarrow m=16$ (thỏa mãn).
$z=-1\Rightarrow m=4$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: $\left( * \right)$ có nghiệm phức $z=a+bi \left( b\ne 0 \right)$ $\Leftrightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow 9-9\left( 1-m \right)<0\Leftrightarrow m<1$.
Nếu $z$ là một nghiệm của phương trình $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ thì $\bar{z}$ cũng là một nghiệm của phương trình $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$.
Ta có $\left| z \right|=1\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow z. \overline{z}=1\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}=1\Leftrightarrow \dfrac{1-m}{9}=1\Leftrightarrow m=-8$ (thỏa mãn).
Vậy tổng các giá trị thực của $m$ bằng $12$.