Gọi $S$ là tập tất cả các số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& -2\le b\le 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt $t\left( b \right)=b+\sqrt{4-{{b}^{2}}}\Rightarrow {t}'\left( b \right)=1-\dfrac{b}{\sqrt{4-{{b}^{2}}}}$
${t}'\left( b \right)=0\Leftrightarrow b=\sqrt{2}$
Ta có $t\left( -2 \right)=-2; t\left( 2 \right)=2; t\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}$. Do đó $t\in \left[ -2; 2\sqrt{2} \right]$.
Lại có: ${{t}^{2}}={{\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)}^{2}}=4+2b\sqrt{4-{{b}^{2}}}\Rightarrow b\sqrt{4-{{b}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2}$
Do đó phương trình ban đầu trở thành: $\dfrac{1}{2}{{\left[ {{2}^{{{\log }_{3}}a}} \right]}^{3}}+{{2}^{{{\log }_{3}}a}}=t\left( 3+\dfrac{{{t}^{2}}-4}{2} \right)=\dfrac{1}{2}{{t}^{3}}+t \left( * \right)$
Mà $f\left( t \right)=\dfrac{1}{2}{{t}^{3}}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow {{2}^{{{\log }_{3}}a}}=t$
Hay ${{2}^{{{\log }_{3}}a}}=b+\sqrt{4-{{b}^{2}}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}a={{\log }_{2}}\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)\Leftrightarrow a={{3}^{{{\log }_{2}}\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)}}$
Ta có: ${{2}^{{{\log }_{3}}a}}>0$ nên $b+\sqrt{4-{{b}^{2}}}\in \left( 0; 2\sqrt{2} \right]\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( b+\sqrt{4-{{b}^{2}}} \right)\in \left( -\infty ; \dfrac{3}{2} \right]\Rightarrow a\in \left( 0; {{3}^{\dfrac{3}{2}}} \right]$
Vậy $S=\left\{ 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$
Tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng 15.