Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$ trên $\mathbb{R}.$ Tổng...

Điều kiện của phương trình đã cho là $\left\{ \begin{aligned}
& 2x-2>0 \\
& x-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x\ne 3 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{\left( 2x-2 \right)}^{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}} \right]=2$
$\Leftrightarrow {{\left( 2x-2 \right)}^{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left( 2x-2 \right)\left( x-3 \right)=2 \\
& \left( 2x-2 \right)\left( x-3 \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-8x+6=2 \\
& 2{{x}^{2}}-8x+6=-2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-8x+4=0 \\
& 2{{x}^{2}}-8x+8=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{2}\left( n \right) \\
& x=2-\sqrt{2}\left( l \right) \\
& x=2\left( n \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}.$
Suy ra $a=4,b=1\Rightarrow Q=ab=4.$