Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left(...

Điều kiện: ${{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}-m\ge 0$
Ta có
$\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}-8x+3 \right)\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}-m}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}+{{3}^{x}}-8x+3=0 \\
& {{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}-m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{3}^{x}}-8x+3$, ta có ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3-8$ ; ${{f}'}'\left( x \right)={{2}^{x}}{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}+{{3}^{x}}{{\left( \ln 3 \right)}^{2}}>0, \forall x\in \mathbb{R}$ suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất là $2$ nghiệm
Ta thấy $x=1$ và $x=2$ là hai nghiệm của phương trình, vậy ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}-8x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}-m=0\Leftrightarrow {{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}=m$.
Để phương trình $\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}-8x+3 \right)\sqrt{{{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}-m}=0$ có $2$ nghiệm thì phương trình ${{\left( 3 \right)}^{{{2}^{x}}}}=m$ vô nghiệm hoặc có nghiệm thuộc $\left[ 1;2 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& 1\le {{\log }_{2}}\left( {{\log }_{3}}m \right)<2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& 9\le m<81 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& 9\le m<81 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \left[ -2021;2021 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên có $2095$ giá trị $m$ nguyên cần tìm.