Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)$. Biết $S=\left( m ;n \right)$ và $\dfrac{7}{3}$ thuộc $S$, tính $m+n$.
A. $m+n=\dfrac{13}{3}$.
B. $m+n=\dfrac{7}{2}$.
C. $m+n=\dfrac{11}{3}$.
D. $m+n=\dfrac{9}{2}$.
& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
& -{{x}^{2}}+2x+3>0 \\
& 0<a\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2<x<3 \\
& 0<a\ne 1 \\
\end{aligned} \right..$
Do $x=\dfrac{7}{3}$ là nghiệm của bất phương trình đã cho nên ${{\log }_{a}}\dfrac{10}{9}>{{\log }_{a}}\dfrac{20}{9}\Rightarrow 0<a<1.$
Vì $0<a<1$ nên bất phương trình $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5<0\Leftrightarrow -1<x<\dfrac{5}{2}\xrightarrow{2<x<3}2<x<\dfrac{5}{2}.$ Vì vậy $m+n=2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{2}$
A. $m+n=\dfrac{13}{3}$.
B. $m+n=\dfrac{7}{2}$.
C. $m+n=\dfrac{11}{3}$.
D. $m+n=\dfrac{9}{2}$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
& -{{x}^{2}}+2x+3>0 \\
& 0<a\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2<x<3 \\
& 0<a\ne 1 \\
\end{aligned} \right..$
Do $x=\dfrac{7}{3}$ là nghiệm của bất phương trình đã cho nên ${{\log }_{a}}\dfrac{10}{9}>{{\log }_{a}}\dfrac{20}{9}\Rightarrow 0<a<1.$
Vì $0<a<1$ nên bất phương trình $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5<0\Leftrightarrow -1<x<\dfrac{5}{2}\xrightarrow{2<x<3}2<x<\dfrac{5}{2}.$ Vì vậy $m+n=2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{2}$
Đáp án D.