Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ sao cho $z$ không phải là số thực và số phức $w=\dfrac{z}{2+z^{2}}$ là số thực. Xét các số phức $z_{1}, z_{2} \in S$ thỏa mãn $\left|z_{1}-z_{2}\right|=2$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\left|z_{1}-3 i\right|^{2}+\left|z_{2}-3 i\right|^{2}$ bằng
A. $12$.
B. $4$.
C. $10$.
D. $34$.
A. $12$.
B. $4$.
C. $10$.
D. $34$.
Vì $z$ không là số thực nên $z-\bar{z} \neq 0$.
Ta có $w=\dfrac{z}{2+{{z}^{2}}}\Rightarrow \bar{w}=\dfrac{{\bar{z}}}{2+{{{\bar{z}}}^{2}}}$.
Vì $w$ là số thực nên $w=\bar{w} \Leftrightarrow \dfrac{z}{2+z^{2}}=\dfrac{\bar{z}}{2+\bar{z}^{2}}$.
$\Leftrightarrow z\left( 2+{{{\bar{z}}}^{2}} \right)=\bar{z}\left( 2+{{z}^{2}} \right)\Leftrightarrow 2(z-\bar{z})=z\cdot \bar{z}(z-\bar{z})$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
z-\bar{z}=0,\left( l \right) \\
z.\bar{z}=2 \\
\end{array}\Leftrightarrow |z{{|}^{2}}=2\to |z|=\sqrt{2}. \right.$
Suy ra tập các số phức $z$ là đường tròn tâm $O(0 ; 0)$, bán kính $R=\sqrt{2}$ ( trừ giao điểm đường tròn và trục hoành)
Gọi $z_{1}=x_{1}+y_{1} i$ và $z_{2}=x_{2}+y_{2} i$ điểm biểu diễn $z_{1}$ và $z_{2}$ lần lượt là $A\left(x_{1} ; y_{1}\right)$ và $B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$
$I(0;3)$ là điểm biểu diễn của $3 i,\left|z_{1}-z_{2}\right|=A B=2$
$P=\left|z_{1}-3 i\right|^{2}+\left|z_{2}-3 i\right|^{2}=I A^{2}+I B^{2}$
Gọi $K$ là trung điểm $A B, O K=\sqrt{R^{2}-K A^{2}}=1 \Rightarrow K$ thuộc đường tròn tâm $\mathrm{O}$, bán kính $r=1$
Ta có $2 I K^{2}=I A^{2}+I B^{2}-\dfrac{A B^{2}}{2} \Leftrightarrow I A^{2}+I B^{2}=2 I K^{2}+2$
$I K \geq|I O-O K|=|3-1|=2$
Dấu " = " xảy ra khi I, K, O thẳng hàng $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-1+i$ và ${{z}_{2}}=1+i$
Vậy: $\operatorname{Min} P=10$ khi ${{z}_{1}}=-1+i$ và ${{z}_{2}}=1+i$.
Ta có $w=\dfrac{z}{2+{{z}^{2}}}\Rightarrow \bar{w}=\dfrac{{\bar{z}}}{2+{{{\bar{z}}}^{2}}}$.
Vì $w$ là số thực nên $w=\bar{w} \Leftrightarrow \dfrac{z}{2+z^{2}}=\dfrac{\bar{z}}{2+\bar{z}^{2}}$.
$\Leftrightarrow z\left( 2+{{{\bar{z}}}^{2}} \right)=\bar{z}\left( 2+{{z}^{2}} \right)\Leftrightarrow 2(z-\bar{z})=z\cdot \bar{z}(z-\bar{z})$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
z-\bar{z}=0,\left( l \right) \\
z.\bar{z}=2 \\
\end{array}\Leftrightarrow |z{{|}^{2}}=2\to |z|=\sqrt{2}. \right.$
Suy ra tập các số phức $z$ là đường tròn tâm $O(0 ; 0)$, bán kính $R=\sqrt{2}$ ( trừ giao điểm đường tròn và trục hoành)
$I(0;3)$ là điểm biểu diễn của $3 i,\left|z_{1}-z_{2}\right|=A B=2$
$P=\left|z_{1}-3 i\right|^{2}+\left|z_{2}-3 i\right|^{2}=I A^{2}+I B^{2}$
Gọi $K$ là trung điểm $A B, O K=\sqrt{R^{2}-K A^{2}}=1 \Rightarrow K$ thuộc đường tròn tâm $\mathrm{O}$, bán kính $r=1$
Ta có $2 I K^{2}=I A^{2}+I B^{2}-\dfrac{A B^{2}}{2} \Leftrightarrow I A^{2}+I B^{2}=2 I K^{2}+2$
$I K \geq|I O-O K|=|3-1|=2$
Dấu " = " xảy ra khi I, K, O thẳng hàng $\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-1+i$ và ${{z}_{2}}=1+i$
Vậy: $\operatorname{Min} P=10$ khi ${{z}_{1}}=-1+i$ và ${{z}_{2}}=1+i$.
Đáp án C.