Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ sao cho số phức $\text{W}=\dfrac{z+2}{z-2i}$ là số thuần ảo. Xét các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in S$ thỏa mãn.., giá trị lớn nhất của $P={{\left| {{z}_{1}}+6 \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}+6 \right|}^{2}}$ bằng.
A. $2\sqrt{78}$.
B. $4\sqrt{15}$.
C. $\sqrt{78}$.
D. $2\sqrt{15}$.
A. $2\sqrt{78}$.
B. $4\sqrt{15}$.
C. $\sqrt{78}$.
D. $2\sqrt{15}$.
* Đặt $z=a+bi, a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $M\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$.
Có $\text{w}=\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{a+2+bi}{a+\left( b-2 \right)i}$ $=\dfrac{\left( a+2+bi \right)\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$ /
$=\dfrac{a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)+\left[ -\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)+ab \right]i}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$\text{w}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-2b=0$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
* ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in S$ được biểu điễn bởi $M,N$ nên $M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN=\sqrt{3}$. Gọi $A\left( -6;0 \right)$
$\begin{aligned}
& P={{\left| {{z}_{1}}+6 \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}+6 \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-{{\overrightarrow{NA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}} \\
& =M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}-N{{I}^{2}}-2\overrightarrow{NI}.\overrightarrow{IA}-I{{A}^{2}}=2\overrightarrow{IA}\left( \overrightarrow{MI}-\overrightarrow{NI} \right)=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN} \\
& P=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN}=2IA.MN.\cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{MN} \right)\le 2IA.MN \\
\end{aligned}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\overrightarrow{IA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$
Ta có. $IA=\sqrt{26}\Rightarrow P\le 2.\sqrt{26}.\sqrt{3}=2\sqrt{78}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $2\sqrt{78}$.
Nếu HS nhầm $A\left( 6;0 \right)$ thì có đáp án là $4\sqrt{15}$
Có $\text{w}=\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{a+2+bi}{a+\left( b-2 \right)i}$ $=\dfrac{\left( a+2+bi \right)\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$ /
$=\dfrac{a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)+\left[ -\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)+ab \right]i}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$\text{w}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-2b=0$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
* ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\in S$ được biểu điễn bởi $M,N$ nên $M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=MN=\sqrt{3}$. Gọi $A\left( -6;0 \right)$
$\begin{aligned}
& P={{\left| {{z}_{1}}+6 \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}}+6 \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-{{\overrightarrow{NA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}} \\
& =M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}-N{{I}^{2}}-2\overrightarrow{NI}.\overrightarrow{IA}-I{{A}^{2}}=2\overrightarrow{IA}\left( \overrightarrow{MI}-\overrightarrow{NI} \right)=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN} \\
& P=2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MN}=2IA.MN.\cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{MN} \right)\le 2IA.MN \\
\end{aligned}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\overrightarrow{IA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$
Ta có. $IA=\sqrt{26}\Rightarrow P\le 2.\sqrt{26}.\sqrt{3}=2\sqrt{78}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $2\sqrt{78}$.
Nếu HS nhầm $A\left( 6;0 \right)$ thì có đáp án là $4\sqrt{15}$
Đáp án A.