Gọi $S$ là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;13\pi \right]$ của phương trình $2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x+\cos 2x=0$. Tổng các...

$\begin{aligned}
& 2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x+\cos 2x=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+(2{{\cos }^{2}}x-1)=0 \\
& \Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+3{{\cos }^{2}}x-1\Leftrightarrow \\
& th1:\cos x=-1\Rightarrow x=\pi +k2\pi \\
& th2:\cos x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pm \pi }{3}+k2\pi \\
\end{aligned}$
*Xét họ nghiệm: $x=\pi +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
$x\in \left[ 0;13\pi \right]\Leftrightarrow 0\le \pi +k2\pi \le 13\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le k\le 6\Rightarrow k\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}.$
*Xét họ nghiệm: $x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
$x\in \left[ 0;13\pi \right]\Leftrightarrow 0\le \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \le 13\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}\le k\le \dfrac{19}{3}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}.$
*Xét họ nghiệm: $x=-\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
$x\in \left[ 0;13\pi \right]\Leftrightarrow 0\le -\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \le 13\pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\le k\le \dfrac{20}{3}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Tổng các phần tử của $S$ bằng: $\begin{aligned}
& \left[ 7\pi +(0+1+2+3+4+5+6).2\pi \right]+\left[ 7.\dfrac{\pi }{3}+(0+1+2+3+4+5+6).2\pi \right] \\
& +\left[ 6.\left( -\dfrac{\pi }{3} \right)+(1+2+3+4+5+6).2\pi \right]=\dfrac{400\pi }{3}. \\
\end{aligned}$