Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x \right)=\dfrac{34}{\sqrt{{{\left(...

Gọi $g\left( x \right)=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3x+2m \right)}^{2}}}=\left| {{x}^{3}}-3x+2m \right|$
Trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ ta thấy: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=2\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=16$
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2m$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$
$y'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1$
$y\left( 0 \right)=2m;y\left( 1 \right)=2m-2;y\left( 3 \right)=2m+18$
Với $\forall m$ ta luôn có: $2m+18>2m>2m-2.$ Do đó, xảy ra hai trường hợp sau:
* TH1: Nếu $\left| 2m-2 \right|\ge \left| 2m+18 \right|$ thì $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=\left| 2m-2 \right|$
Khi đó: $\left| 2m-2 \right|=16\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2m-2=16\Leftrightarrow 2m=18\Leftrightarrow m=9\left( Loai \right) \\
& 2m-2=-16\Leftrightarrow 2m=-14\Leftrightarrow m=-7\left( thoaman \right) \\
\end{aligned} \right.$
* TH2: Nếu $\left| 2m-2 \right|<\left| 2m+18 \right|$ thì $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=\left| 2m+18 \right|$
Khi đó: $\left| 2m+18 \right|=16\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2m+18=16\Leftrightarrow 2m=-2\Leftrightarrow m=-1\left( thoaman \right) \\
& 2m+18=-16\Leftrightarrow 2m=-34\Leftrightarrow m=-17\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng $\left( -7 \right)+\left( -1 \right)=-8.$