Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)x$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho $A,B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d:y=5x-9.$ Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng
A. $-6$
B. 6
C. 0
D. 2
A. $-6$
B. 6
C. 0
D. 2
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.
- Để $A,B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d:y=5x-9$ thì điểm $M$ là trung điểm của $AB$ phải thuộc $d.$
- Chứng minh M là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình $y''=0$ tìm $M.$
- Thay $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ tìm $m.$
Cách giải:
Ta có: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)x\Rightarrow y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1.$
Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình $y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt.
$\Rightarrow \Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1>0\Leftrightarrow 1>0$ (luôn đúng)
Để $A,B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d:y=5x-9$ thì điểm $M$ là trung điểm của $AB$ phải thuộc $d.$
Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên M chính là điểm uốn của hàm số ban đầu.
Ta có $y''=2x-2m=0\Leftrightarrow x=m\Rightarrow y=\dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-{{m}^{3}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)m=\dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m.$
$\Rightarrow M\left( m;\dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m \right).$
$M\in d\Rightarrow \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m=5m-9\Leftrightarrow {{m}^{3}}-18m+27=0.$
Vậy tổng các giá trị của $m$ là 0 (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba).
- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.
- Để $A,B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d:y=5x-9$ thì điểm $M$ là trung điểm của $AB$ phải thuộc $d.$
- Chứng minh M là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình $y''=0$ tìm $M.$
- Thay $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ tìm $m.$
Cách giải:
Ta có: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)x\Rightarrow y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1.$
Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình $y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt.
$\Rightarrow \Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1>0\Leftrightarrow 1>0$ (luôn đúng)
Để $A,B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d:y=5x-9$ thì điểm $M$ là trung điểm của $AB$ phải thuộc $d.$
Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên M chính là điểm uốn của hàm số ban đầu.
Ta có $y''=2x-2m=0\Leftrightarrow x=m\Rightarrow y=\dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-{{m}^{3}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)m=\dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m.$
$\Rightarrow M\left( m;\dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m \right).$
$M\in d\Rightarrow \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m=5m-9\Leftrightarrow {{m}^{3}}-18m+27=0.$
Vậy tổng các giá trị của $m$ là 0 (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba).
Đáp án C.