Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [-10; 10] của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3(2m+1){{x}^{2}}+(12m+5)x+2$ đồng biến trên khoảng...

Ta có $y=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5.$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+2m+5\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty \right).\Leftrightarrow \dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1}\ge 12m,\forall x\in \left( 2;+\infty \right).$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1}$ trên $\left( 2;+\infty \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.$ Ta có BBT:
Vậy $12m\le 5\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{12}\Rightarrow S=\left\{ -10;-9;-8;...;0 \right\}.$ Do đó số phần tử của $S$ bằng 11.