: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên không âm của $m$ để hàm số $y=\dfrac{\ln x-10}{\ln x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;{{e}^{3}}...

Phương pháp:
- Đặt $t=\ln x,$ tìm khoảng giá trị của $t$ và xét tính cùng tăng giảm của $x,t.$
- Đưa bài toán về dạng tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{at+b}{ct+d}$ đồng biến trên khoảng $\left( m;n \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'>0 \\
& -\dfrac{d}{c}\notin \left( m;n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
- Đối chiếu điều kiện đề bài tìm $m.$
Cách giải:
Đặt $t=\ln x,$ với $x\in \left( 1;{{e}^{3}} \right)$ thì $t\in \left( 0;3 \right),x,t$ cùng tính tăng giảm.
Bài toán trở thành tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{t-10}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right).$
Ta có TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$ và $y'=\dfrac{-m+10}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}.$
Để hàm số $y=\dfrac{t-10}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& y'>0 \\
& m\notin \left( 0;3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m+10>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 3 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3\le m\le 10 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right..$
Mà $m$ là số nguyên không âm nên $S=\left\{ 0;3;4;5;6;7;8;9 \right\}.$
Vậy tập hợp $S$ có 8 phần tử.