Google
Câu hỏi: Gọi ${S}$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ để bất phương trình sau ${{x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0}$ nghiệm đúng với mọi ${x \in \left[ {1; 3} \right]}$. Tổng tất cả các phần tử của ${S}$ bằng
A. ${3}$.
B. ${1}$.
C. ${4}$.
D. ${2}$. ${}$
A. ${3}$.
B. ${1}$.
C. ${4}$.
D. ${2}$. ${}$
Ta có: ${{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx \left( 1 \right)$
Hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ đồng biến trên R
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( mx \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1\ge mx\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}\ge m$
Đế (1) đúng với mọi $x\in \left[ 1;3 \right]$ khi $m\le f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x}\forall x\in \left[ 1;3 \right]\left( 2 \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì $f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x}\ge 2,\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Suy ra $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 2$
Do m nguyên dương nên $m\in S=\left\{ 1;2 \right\}$
Hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ đồng biến trên R
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( mx \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1\ge mx\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}\ge m$
Đế (1) đúng với mọi $x\in \left[ 1;3 \right]$ khi $m\le f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x}\forall x\in \left[ 1;3 \right]\left( 2 \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì $f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x}\ge 2,\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Suy ra $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 2$
Do m nguyên dương nên $m\in S=\left\{ 1;2 \right\}$
Đáp án A.