Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình ${{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0$ đúng với mọi $x\in \left[ 1;3 \right]$. Tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng:
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
Ta có ${{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0$ $\Leftrightarrow $ ${{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}+1\ge {{m}^{3}}{{x}^{3}}+mx$
$\Leftrightarrow $ ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}+{{x}^{2}}+1\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+mx$, $\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ $\Rightarrow $ ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( mx \right)$ $\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+1\ge mx$ $\Leftrightarrow $ $m\le \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$, $\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ $\Leftrightarrow $ $m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$.
Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ ; ${g}'\left( x \right)=0$ $\Rightarrow $ $x=1$.
$g\left( 1 \right)=2$ ; $g\left( 3 \right)=5$ $\Rightarrow $ $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=2$ $\Rightarrow $ $m\le 2$.
Suy ra $S=\left\{ 1;2 \right\}$. Vậy tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng $3$.
$\Leftrightarrow $ ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}+{{x}^{2}}+1\ge {{\left( mx \right)}^{3}}+mx$, $\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ $\Rightarrow $ ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( mx \right)$ $\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+1\ge mx$ $\Leftrightarrow $ $m\le \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$, $\forall x\in \left[ 1;3 \right]$ $\Leftrightarrow $ $m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$.
Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ ; ${g}'\left( x \right)=0$ $\Rightarrow $ $x=1$.
$g\left( 1 \right)=2$ ; $g\left( 3 \right)=5$ $\Rightarrow $ $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=2$ $\Rightarrow $ $m\le 2$.
Suy ra $S=\left\{ 1;2 \right\}$. Vậy tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng $3$.
Đáp án A.