Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)=\left|...

Cách 1:Đặt $g(x)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}+48x+m-30$.
Ta có: ${g}'(x)={{x}^{3}}-28x+48$ $=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-24 \right)$.
$\Rightarrow {g}'(x)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2\in \left[ 0;2 \right] \\
& x=4 \notin \left[ 0;2 \right] \\
& x=-6 \notin \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right. $ và $ {g}'(x)\ge 0, \forall x\in \left[ 0;2 \right]$.
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max}}} g(x)=g(2)=m+14$, $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{min}}} g(x)=g(0)=m-30$.
TH1: $m\le 8$ : $\left\{ \begin{aligned}
& m-30\le -22 \\
& m+14\le 22 \\
& m-30<m+14 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left| m-30 \right|>\left| m+14 \right| $ $ \Rightarrow $ $ \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max}}} f(x)=30-m$.
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max}}} f(x)\le 30$ $\Leftrightarrow 30-m\le 30\Leftrightarrow m\ge 0$.
Trong trường hợp này $m\in \left\{ 0;1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 \right\}$.
TH2: $m>8:$ $\left\{ \begin{aligned}
& m-30>-22 \\
& m+14>22 \\
& m-30<m+14 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left| m-30 \right|<\left| m+14 \right| $ $ \Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max}}} f(x)=m+14$.
$\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\text{max}}} f(x)\le 30$ $\Leftrightarrow m+14\le 30\Leftrightarrow m\le 16$.
Trong trường hợp này $m\in \left\{ 9;10;11;...; 16 \right\}$.
Vậy $S=\left\{ 0;1;2;...;16 \right\}$ nên tổng giá trị các phần tử của $S$ là: $0+1+2+...+16=16.\frac{17}{2}=136$.