Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16x+10+m+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}=0$ có...

Ta có: $-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16x+10+m+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}=0$
$\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3x+m+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+13x-10$
$\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3x+m+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}={{\left(x-2 \right)}^{3}}+x-2$
$\Leftrightarrow {{\left(\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m} \right)}^{3}}+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}={{\left(x-2 \right)}^{3}}+\left(x-2 \right)\text{ }\left(* \right)$
Xét hàm số $y=f\left(t \right)={{t}^{3}}+t$ có $f'\left(t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y=f\left(t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Do đó phương trình $\left(* \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}=x-2\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3x+m={{\left(x-2 \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3x+m={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+15x-8=m$ (1)
Phương trình $-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16x+10+m+\sqrt[3]{-{{x}^{3}}-3x+m}=0$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi phương trình $\left(1 \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right].$
Xét hàm số $y=2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+15x-8$ có $y'=6{{x}^{2}}-12x+15>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Ta có: $y\left(-1 \right)=-31$ và $y\left(2 \right)=14.$
Do đó phương trình $\left(1 \right)$ có nghiệm $x\in \left[ -1; 2 \right]$ khi và chỉ khi $-31\le m\le 14.$
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ ta có $S=\left\{ -31;-30;-29;...; 13; 14 \right\}.$
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập $S$ là $-391.$