Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho hàm số $y=\mid-x^4+m x^3+2 m^2 x^2+m-$ $1 \mid$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ là
A. -1.
B. -2.
C. 0.
D. 2.
A. -1.
B. -2.
C. 0.
D. 2.
Gọi $g(x)=-x^4+m x^3+2 m^2 x^2+m-1$.
$g^{\prime}(x)=-4 x^3+3 m x^2+4 m^2 x=x \cdot\left(-4 x^2+3 m x+4 m^2\right)=-4 x \cdot\left(x-\dfrac{3-\sqrt{73}}{8} m\right) \cdot(x-$ $\left.\dfrac{3+\sqrt{73}}{8} m\right)$
Gọi $a=\dfrac{3-\sqrt{73}}{8} m, b=\dfrac{3+\sqrt{73}}{8} m, b-a=\dfrac{2 \sqrt{73}}{8} m$.
Nếu $m>0$ thì $b>a$, nếu $m<0$ thì $b<a$.
Ta có $\lim _{x \rightarrow+\infty} g^{\prime}(x)=-\infty$ nên không xảy ra trường hợp hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phải có $g(x)$ nghịch biến trên $(1 ;+\infty)$ và $g(1) \leq 0$.
$g(1) \leq 0 \Leftrightarrow 2 m^2+2 m-2 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}(1)$.
$g(x)$ nghịch biến trên $(1 ;+\infty) \Leftrightarrow g^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(1 ;+\infty)$ (2).
+) Nếu $m=0: g^{\prime}(x)=-4 x^3$. Điều kiện (1) và (2) đều thỏa mãn, do đó giá trị $m=0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+) Nếu $0<m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}(3)$ : Dấu $g^{\prime}(x)$ trên trục số như sau:
Để thỏa mãn điều kiện (2) thì $b=\dfrac{3+\sqrt{73}}{8} m \leq 1 \Leftrightarrow m \leq \dfrac{-3+\sqrt{73}}{8}$ (4). Kết hợp (3) và (4) có: $0<m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
+ ) Nếu $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \leq m<0(5)$ : Dấu $g^{\prime}(x)$ trên trục số như sau:
Để thỏa mãn điều kiện (2) thì $a=\dfrac{3-\sqrt{73}}{8} m \leq 1 \Leftrightarrow m \geq \dfrac{-3-\sqrt{73}}{8}$ (6).
Kết hợp (5) và (6) có: $\dfrac{-3-\sqrt{73}}{8} \leq m<0$.
Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\dfrac{-3-\sqrt{73}}{8} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$, suy ra các giá trị nguyên của $\mathrm{m}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m=-1, m=0$, do đó $S=-1$.
$g^{\prime}(x)=-4 x^3+3 m x^2+4 m^2 x=x \cdot\left(-4 x^2+3 m x+4 m^2\right)=-4 x \cdot\left(x-\dfrac{3-\sqrt{73}}{8} m\right) \cdot(x-$ $\left.\dfrac{3+\sqrt{73}}{8} m\right)$
Gọi $a=\dfrac{3-\sqrt{73}}{8} m, b=\dfrac{3+\sqrt{73}}{8} m, b-a=\dfrac{2 \sqrt{73}}{8} m$.
Nếu $m>0$ thì $b>a$, nếu $m<0$ thì $b<a$.
Ta có $\lim _{x \rightarrow+\infty} g^{\prime}(x)=-\infty$ nên không xảy ra trường hợp hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phải có $g(x)$ nghịch biến trên $(1 ;+\infty)$ và $g(1) \leq 0$.
$g(1) \leq 0 \Leftrightarrow 2 m^2+2 m-2 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}(1)$.
$g(x)$ nghịch biến trên $(1 ;+\infty) \Leftrightarrow g^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(1 ;+\infty)$ (2).
+) Nếu $m=0: g^{\prime}(x)=-4 x^3$. Điều kiện (1) và (2) đều thỏa mãn, do đó giá trị $m=0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+) Nếu $0<m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}(3)$ : Dấu $g^{\prime}(x)$ trên trục số như sau:
+ ) Nếu $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \leq m<0(5)$ : Dấu $g^{\prime}(x)$ trên trục số như sau:
Kết hợp (5) và (6) có: $\dfrac{-3-\sqrt{73}}{8} \leq m<0$.
Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\dfrac{-3-\sqrt{73}}{8} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$, suy ra các giá trị nguyên của $\mathrm{m}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m=-1, m=0$, do đó $S=-1$.
Đáp án A.