Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-5x+m \right)>{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)$ có tập nghiệm chứa khoảng $\left( 2;+\infty \right)$. Tìm khẳng định đúng.
A. $S=\left( 7;+\infty \right)$.
B. $S=\left[ 6;+\infty \right)$.
C. $S=\left( -\infty ;4 \right)$.
D. $S=\left( -\infty ;5 \right]$.
A. $S=\left( 7;+\infty \right)$.
B. $S=\left[ 6;+\infty \right)$.
C. $S=\left( -\infty ;4 \right)$.
D. $S=\left( -\infty ;5 \right]$.
${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-5x+m \right)>{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2>0 \\
& {{x}^{2}}-5x+m>x-2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& m>-{{x}^{2}}+6x-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-5x+m \right)>{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)$ có tập nghiệm chứa khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m>-{{x}^{2}}+6x-2$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 2;+\infty \right)$.
Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+6x-2$ trên $\left( 2;+\infty \right)$
Ta có ${f}'\left( x \right)=-2x+6$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
$m>-{{x}^{2}}+6x-2$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m>7$.
& x-2>0 \\
& {{x}^{2}}-5x+m>x-2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& m>-{{x}^{2}}+6x-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-5x+m \right)>{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)$ có tập nghiệm chứa khoảng $\left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m>-{{x}^{2}}+6x-2$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 2;+\infty \right)$.
Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+6x-2$ trên $\left( 2;+\infty \right)$
Ta có ${f}'\left( x \right)=-2x+6$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên
$m>-{{x}^{2}}+6x-2$ có nghiệm với mọi $x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m>7$.
Đáp án A.