Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S.$ Tìm xác suất để số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau.
A. $\dfrac{1}{36}$
B. $\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{5}{63}$
D. $\dfrac{5}{1512}$
A. $\dfrac{1}{36}$
B. $\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{5}{63}$
D. $\dfrac{5}{1512}$
Phương pháp:
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a\ne 0,a,b,c,d\in \mathbb{N},0\le a,b,c,d\le 9 \right).$ Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi A là biến cố: "Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau" $\Rightarrow 1\le a<b<c<d\le 9.$
- Từ yêu cầu bài toán, suy ra được điều kiện $1\le a<b-1<c-2<d-3\le 6,$ chọn cặp các chữ số $\left( a;b-1;c-2;d-3 \right)$ thỏa mãn điều kiện trên, từ đó tính được $n\left( A \right).$
- Tính xác suất của biến cố $A:P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}.$
Cách giải:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a\ne 0,a,b,c,d\in \mathbb{N},0\le a,b,c,d\le 9 \right).$
- Số cách chọn $a:9$ cách $\left( a\ne 0 \right).$
- Số cách chọn $b,c,d:A_{9}^{3}=504$ cách.
$\Rightarrow $ Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right)=9.504=4536.$
Gọi A là biến cố: "Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau".
$\Rightarrow 1\le a<b<c<d\le 9.$
Vì các số $a,b,c,d$ không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& b>a+1 \\
& c>b+1 \\
& d>c+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<b-1 \\
& b<c-1\Rightarrow b-1<c-2 \\
& c<d-1\Rightarrow c-2<d-3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có $1\le a<b-1<c-2<d-3\le 6.$
Số cách chọn được 1 bộ số $\left( a;b-1;c-2;d-3 \right)$ là $C_{6}^{4}=15$ cách. Ứng với mỗi cách chọn 1 bộ số $\left( a;b-1;c-2;d-3 \right)$ ta được 1 bộ số $\left( a;b;c;d \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow n\left( A \right)=15.$
Vậy xác suất của biến cố A là $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{15}{4536}=\dfrac{5}{1512}.$
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a\ne 0,a,b,c,d\in \mathbb{N},0\le a,b,c,d\le 9 \right).$ Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi A là biến cố: "Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau" $\Rightarrow 1\le a<b<c<d\le 9.$
- Từ yêu cầu bài toán, suy ra được điều kiện $1\le a<b-1<c-2<d-3\le 6,$ chọn cặp các chữ số $\left( a;b-1;c-2;d-3 \right)$ thỏa mãn điều kiện trên, từ đó tính được $n\left( A \right).$
- Tính xác suất của biến cố $A:P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}.$
Cách giải:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a\ne 0,a,b,c,d\in \mathbb{N},0\le a,b,c,d\le 9 \right).$
- Số cách chọn $a:9$ cách $\left( a\ne 0 \right).$
- Số cách chọn $b,c,d:A_{9}^{3}=504$ cách.
$\Rightarrow $ Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right)=9.504=4536.$
Gọi A là biến cố: "Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau".
$\Rightarrow 1\le a<b<c<d\le 9.$
Vì các số $a,b,c,d$ không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& b>a+1 \\
& c>b+1 \\
& d>c+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<b-1 \\
& b<c-1\Rightarrow b-1<c-2 \\
& c<d-1\Rightarrow c-2<d-3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có $1\le a<b-1<c-2<d-3\le 6.$
Số cách chọn được 1 bộ số $\left( a;b-1;c-2;d-3 \right)$ là $C_{6}^{4}=15$ cách. Ứng với mỗi cách chọn 1 bộ số $\left( a;b-1;c-2;d-3 \right)$ ta được 1 bộ số $\left( a;b;c;d \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow n\left( A \right)=15.$
Vậy xác suất của biến cố A là $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{15}{4536}=\dfrac{5}{1512}.$
Đáp án D.