Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=10.$ Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức thuộc $S$ sao cho...

Đặt ${{z}_{2}}=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Do $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$ là số thuần ảo nên $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=ki$ (với $k\in \mathbb{R}).$
Ta có $\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=ki\Leftrightarrow {{z}_{1}}={{z}_{2}}.ki$
$=\left( a+bi \right).ki$
$=-bk+aki.$
Mặt khác theo bài ra thì $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=10$ nên ta có
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -bk \right)}^{2}}+{{\left( ak \right)}^{2}}}=10\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=100\Rightarrow {{k}^{2}}=1\Rightarrow \left| k \right|=1.$
Do $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ nên $A\left( -bk;ak \right),B\left( a;b \right).$
Khi đó $\overrightarrow{OA}=\left( -bk;ak \right),\overrightarrow{OB}=\left( a;b \right).$
Suy ra diện tích tam giác $AOB$ là: $S=\dfrac{1}{2}\left| \left( -bk \right).b-\left( ak \right).k \right|=\dfrac{1}{2}\left| k \right|\left| {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right|=\dfrac{1}{2}.1.100=50.$