Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x \right)=\dfrac{34}{\sqrt{{{\left({{x}^{3}}-3x+2m...

Ta có $\sqrt{{{\left({{x}^{3}}-3x+2m \right)}^{2}}}=\left| {{x}^{3}}-3x+2m \right|$.
Nhận thấy $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} f\left(x \right)=2\Leftrightarrow \underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3x+2m \right|=16$. (1)
Xét hàm số $g\left(x \right)={{x}^{3}}-3x+2m$ trên $\left[ 0; 3 \right]$, ta có:
+) ${g}'\left(x \right)=3{{x}^{2}}-3\Rightarrow {g}'\left(x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\notin \left(0; 3 \right) \\
& x=1\in \left(0; 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+) $g\left(0 \right)=2m, g\left(1 \right)=2m-2, g\left(3 \right)=2m+18$.
Do đó $2m-2\le g\left(x \right)\le 2m+18,\forall x\in \left[ 0; 3 \right]$.
Tức là $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3x+2m \right|=\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ \left| 2m-2 \right|;\left| 2m+18 \right| \right\}$.
Thay vào (1) ta có :
$\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ \left| 2m-2 \right|;\left| 2m+18 \right| \right\}=16\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m-2 \right|>\left| 2m+18 \right| \\
& \left| 2m-2 \right|=16 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2m-2 \right|\le \left| 2m+18 \right| \\
& \left| 2m+18 \right|=16 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-7 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra, tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng: $-8.$