Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| \dfrac{{{x}^{2}}+mx+m}{x+1} \right|$ trên...

Đặt $y=h\left( x \right)=\left| \dfrac{{{x}^{2}}+mx+m}{x+1} \right|$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+mx+m}{x+1}=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+1}+m,$ ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right].$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right].$
$\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}+m,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=\dfrac{4}{3}+m.$
Nếu $\dfrac{1}{2}+m>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=m+\dfrac{4}{3},$ suy ra: $\dfrac{4}{3}+m=2\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$ (thỏa mãn).
Nếu $\dfrac{4}{3}+m<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{4}{3}$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=\left| m+\dfrac{1}{2} \right|,$ suy ra: $\left| m+\dfrac{1}{2} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{3}{2}\left( l \right) \\
& m=-\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Nếu $\dfrac{1}{2}+m<0<\dfrac{4}{3}+m\Leftrightarrow -\dfrac{4}{3}<m<-\dfrac{1}{2}$ thì: $\left| m+\dfrac{1}{2} \right|\le \left| m \right|+\dfrac{1}{2}\le \dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{6}<2,$ suy ra:
$\left| m+\dfrac{4}{3} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+\dfrac{4}{3}=2 \\
& m+\dfrac{4}{3}=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{2}{3} \\
& m=-\dfrac{10}{3} \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị $m$ thỏa mãn: $m=-\dfrac{5}{2}$ và $m=\dfrac{2}{3}.$