Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = | \frac{x^{2} + m x + m}{x + 1} |$ trên...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Gọi

S

là tập hợp các giá trị thực của tham số

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = | \frac{x^{2} + m x + m}{x + 1} |

trên

[1; 2]

bằng 2. Số phần tử của

S

là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.

Đặt

y = h (x) = | \frac{x^{2} + m x + m}{x + 1} |

Xét hàm số

f (x) = \frac{x^{2} + m x + m}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x + 1} + m,

ta có:

f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \in [1; 2] .

Suy ra hàm số

f (x)

đồng biến trên đoạn

[1; 2] .

min_{[1; 2]} f (x) = f (1) = \frac{1}{2} + m, max_{[1; 2]} f (x) = f (2) = \frac{4}{3} + m .

Nếu

\frac{1}{2} + m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}

thì

max_{[1; 2]} h (x) = m + \frac{4}{3},

suy ra:

\frac{4}{3} + m = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}

(thỏa mãn).
Nếu

\frac{4}{3} + m < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{4}{3}

thì

max_{[1; 2]} h (x) = | m + \frac{1}{2} |,

suy ra:

| m + \frac{1}{2} | = 1 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = \frac{3}{2} (l) \\ m = - \frac{5}{2} \end{aligned} .

Nếu

\frac{1}{2} + m < 0 < \frac{4}{3} + m \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < m < - \frac{1}{2}

thì:

| m + \frac{1}{2} | \leq | m | + \frac{1}{2} \leq \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{11}{6} < 2,

suy ra:

| m + \frac{4}{3} | = 2 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m + \frac{4}{3} = 2 \\ m + \frac{4}{3} = - 2 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = \frac{2}{3} \\ m = - \frac{10}{3} \end{aligned}

(không thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị

m

thỏa mãn:

m = - \frac{5}{2}

và

m = \frac{2}{3} .

Đáp án D.

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y=|x2+mx+mx+1| trên...