Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại duy...

Đặt $z=x+yi$ và $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức.
Ta có $\left( z+i \right)\left( \overline{z}-i \right)=16\Leftrightarrow \left( z+i \right)\overline{\left( z+i \right)}=16\Leftrightarrow \left| z+i \right|=4$, khi đó $M$ thuộc đường tròn tâm ${{I}_{1}}\left( 0;-1 \right)$ bán kính $R=4$.
Ta có $\left| z-4-2i \right|=m$, khi đó $M$ thuộc đường tròn tâm ${{I}_{2}}\left( 4;2 \right)$ bán kính $R=m$ với $m>0$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 4;3 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=5$
Để tồn tại duy nhất số phức $z$ thỏa mãn $\left( z+i \right)\left( \overline{z}-i \right)=16$ và $\left| z-4-2i \right|=m$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right| \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
5=4+m \\
5=\left| 4-m \right| \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 & \left( n \right) \\
m=-1 & \left( l \right) \\
m=9 & \left( n \right) \\
\end{matrix} \right.$.