Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biêt ${{3}^{-\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}}lo{{g}_{\sqrt[3]{3}}}\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)+{{3}^{-{{x}^{2}}+2x}}\log \dfrac{1}{3}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right)=0.$ Tích các phần tử của $S$ là
A. $-\dfrac{61}{36}.$
B. $\dfrac{25}{108}.$
C. $\dfrac{25}{54}.$
D. $\dfrac{5}{4}.$
A. $-\dfrac{61}{36}.$
B. $\dfrac{25}{108}.$
C. $\dfrac{25}{54}.$
D. $\dfrac{5}{4}.$
Ta có
${{3}^{-\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}}{{\log }_{\sqrt[3]{3}}}\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)+{{3}^{-{{x}^{2}}+2x}}{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{{{3}^{\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}}}.{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)={{\log }_{3}}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right){{.3}^{-{{x}^{2}}+2x}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+1+4 \right){{.3}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{\log }_{3}}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right){{.3}^{\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}},\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}.{{\log }_{3}}\left( t+4 \right),\forall t\ge 0$
Ta có $f'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3.{{\log }_{3}}\left( t+4 \right)+\dfrac{1}{\left( t+4 \right).\ln 3}>0,\forall t\ge 0.$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Như vậy $\left( * \right)\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+2x-1,\left( 1 \right) \\
& m={{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+1,\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.,\left( ** \right)$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& h\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+2x-1 \\
& g\left( x \right)={{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có giao điểm của đồ thị $h\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là điểm $K\left( 1;\dfrac{1}{2} \right)$
Ta có $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Điểm cực đại của đồ thị $H\left( -1;\dfrac{5}{2} \right)$, điểm cực tiểu của đồ thị $L\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{5}{27} \right)$
Như vậy để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì (**) có đúng 3 nghiệm $\Leftrightarrow $ pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt hoặc pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm chung $x=1$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}\vee m=\dfrac{5}{27}\vee m=\dfrac{1}{2}$ suy ra tích các giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán là $\dfrac{25}{108}.$
${{3}^{-\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}}{{\log }_{\sqrt[3]{3}}}\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)+{{3}^{-{{x}^{2}}+2x}}{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{{{3}^{\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}}}.{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)={{\log }_{3}}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right){{.3}^{-{{x}^{2}}+2x}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+1+4 \right){{.3}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{\log }_{3}}\left( \left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|+4 \right){{.3}^{\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|}},\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}.{{\log }_{3}}\left( t+4 \right),\forall t\ge 0$
Ta có $f'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3.{{\log }_{3}}\left( t+4 \right)+\dfrac{1}{\left( t+4 \right).\ln 3}>0,\forall t\ge 0.$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Như vậy $\left( * \right)\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=\left| {{x}^{3}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+2x-1,\left( 1 \right) \\
& m={{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+1,\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.,\left( ** \right)$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& h\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+2x-1 \\
& g\left( x \right)={{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có giao điểm của đồ thị $h\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là điểm $K\left( 1;\dfrac{1}{2} \right)$
Ta có $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x+2>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Điểm cực đại của đồ thị $H\left( -1;\dfrac{5}{2} \right)$, điểm cực tiểu của đồ thị $L\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{5}{27} \right)$
Như vậy để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì (**) có đúng 3 nghiệm $\Leftrightarrow $ pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt hoặc pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm chung $x=1$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}\vee m=\dfrac{5}{27}\vee m=\dfrac{1}{2}$ suy ra tích các giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán là $\dfrac{25}{108}.$
Đáp án B.