Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2$ đồng biến trên khoảng $\left( 2; +\infty \right)$. Số phần tử của $S$ bằng
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5$.
Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 2; +\infty \right)$ khi ${y}'\ge 0$, $\forall x\in \left( 2; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0$, $\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$.
$3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0$ $\Leftrightarrow m\le \dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)}$ với $x\in \left( 2; +\infty \right)$.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+1}{12{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0$ với $\forall x\in \left( 2; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2; +\infty \right)$.
Do đó $m\le g\left( x \right)$, $\forall x\in \left( 2; +\infty \right)$ $\Rightarrow m\le g\left( 2 \right)$ $\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{12}$.
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.
${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5$.
Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 2; +\infty \right)$ khi ${y}'\ge 0$, $\forall x\in \left( 2; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0$, $\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$.
$3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0$ $\Leftrightarrow m\le \dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+5}{12\left( x-1 \right)}$ với $x\in \left( 2; +\infty \right)$.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}-6x+1}{12{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0$ với $\forall x\in \left( 2; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 2; +\infty \right)$.
Do đó $m\le g\left( x \right)$, $\forall x\in \left( 2; +\infty \right)$ $\Rightarrow m\le g\left( 2 \right)$ $\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{12}$.
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.